– CULTUURGESCHIEDENIS –

1. Wetenschappelijke kennis – 2. De culturele context –
3. De theorieën – 4. De feiten – 5. Ruimte en tijd in de kunst

De theorieën

Dan verplaatsen we ons nu op onze missie op zoek naar mogelijke waarheden in onze kennis over de wereld vanuit de culturele context naar het niveau van de natuurwetenschappelijke theorieën zoals die binnen bepaalde culturen opgeld doen of hebben gedaan, met in principe dezelfde vraag naar het universele karakter ervan. Maar omdat theorieën zoals we die nu kennen zijn opgebouwd uit zowel een formele wiskundige beschrijving als een daarbij passende interpretatie, voorstelling of model, doen we er goed aan deze beide samenstellende delen afzonderlijk te bekijken, te beginnen met het laatste.

De voorstellingen

Het ligt voor de hand aan te nemen dat de voorstellingen van natuurkundige begrippen of verschijnselen die een belangrijke rol spelen in het leven van alledag, zoals ruimte, tijd, kracht en beweging, van periode tot periode, van plaats tot plaats, van school tot school en van cultuur tot cultuur zullen verschillen. Om dat aan te tonen volstaat het om de verschillende, elkaar in de geschiedenis opvolgende voorstellingen van en opvattingen over deze fysische begrippen met elkaar te vergelijken, waarbij we er ook nu weer voortdurend op bedacht moeten zijn dat de betekenis van ‘natuurkundig’ of ‘natuurwetenschappelijk’ door de eeuwen heen sterk is veranderd. Ook begrippen als ‘ruimte’ en ‘tijd’ deden zich in de perceptie van onze voorouders fundamenteel anders aan ze voor dan wij ze tegenwoordig ervaren.

Ruimte en tijd

In het Egypte van vóór de Griekse Oudheid beschouwde men de aarde als een platte schijf, overspannen door een koepel- of cirkelvormig hemelgewelf. Ruimtelijke begrippen als ‘aarde’, ‘lucht’ en ‘hemel’ werden voorgesteld als goden en godinnen die een erotische betrekking met elkaar onderhouden. Een afbeelding op een papyrus uit de 11^de eeuw v.Chr., gevonden in het graf van prinses Nesitanebtàshru, toont de luchtgod Sju met beide benen stevig op de grond − gesymboliseerd door de liggende aardegod Keb − en die de als een uitspansel over hem heen gebogen hemelgodin Noet met zijn beide handen bij haar schaamstreek en borstpartij ondersteunt. Door hun erotische, zelfs seksuele verhouding worden zo iedere ochtend de zon en iedere avond de maan en de sterren uit Noet geboren, om bij hun respectieve ondergang ook weer te sterven.^[1]

Door de warme, erotische en besloten voorstelling van de ruimte schoof een boreling bij de Egyptenaren van de ene (menselijke) baarmoeder in de (kosmische) andere. Op een andere afbeelding staat waarschijnlijk de aardegod als personificatie van de vruchtbaarheid achter een ploeg die wordt voortgetrokken door een span ossen, uiteraard in zijaanzicht, waarbij de vanuit het perspectief van de beschouwer achterste os wordt aangegeven door de omtrek van de voorste os te verdubbelen waardoor iedere suggestie van ruimtelijkheid ontbreekt.

De afbeeldingen die de Egyptenaren maakten zijn in essentie tweedimensionaal en wekken de indruk of men zich nog geen adequate driedimensionale voorstelling van de ruimte kon maken ‒ of die in ieder geval duizenden jaren lang en zonder een enkele uitzondering niet suggestief op een plat vlak kon weergeven ‒ en dat men zich eerder door een serie achterelkaar geplaatste tweedimensionale dia’s bewoog dan door een driedimensionale ruimte te lopen zoals wij ons dat voorstellen. De Engelse astronoom John Barrow gaat in zijn boek The Artful Universe zo ver een Egyptische afbeelding te vergelijken met een eigentijdse kindertekening – ‘alsof iemand het tafereel plat tegen de muur heeft geslagen’ − en suggereert daarmee dat de oude Egyptenaren over een minder ontwikkeld ruimtelijk bewustzijn beschikten dan volwassenen tegenwoordig hebben.^[2] Het tegenargument dat er door de Egyptenaren vele driedimensionale bouwwerken zijn voortgebracht, wat op een ontwikkelde vorm van ruimtelijk inzicht zou moeten duiden, kan worden weersproken met verwijzing naar in onze perceptie driedimensionale termietenheuvels, waarvan we mogen aannemen dat de constructie daarvan ook geen driedimensionaal ruimtebewustzijn van de termieten verlangt. Wij zien de termietenheuvels en de piramides als driedimensionale constructies, maar wat de termieten zien en de Egyptenaren zagen dat weten we niet, indachtig ook Thomas Nagels prangende vraag: ‘What is it like to be a bat.’.

Bij de antieke Grieken bestond een veelheid aan ruimtelijke voorstellingen naast elkaar, waarvan de ptolemaeische in de eerste eeuw na Christus als laatste in het nulde hoofdstuk al aan de orde is gekomen. Vanaf de zevende eeuw voor Christus stelden de Ioniërs, onder wie Thales van Milete, Anaximander, Anaximenes en Anaxagoras – door Aristoteles fysici genoemd omdat zij de eersten waren die naar een natuurlijke in plaats van een goddelijke oorzaak van de gebeurtenissen in de wereld zochten − zich de aarde voor als een platte schijf die in water drijft of in de lucht zweeft, ‘gedragen door de levensadem als een blad in de wind’.^[3]

Thales – van wie we alleen weten wat Aristoteles over hem heeft geschreven − vergaarde roem met zijn naar nu wordt aangenomen met meer geluk dan wijsheid juist voorspelde zonsverduistering van 585 v.Chr. In de opvatting van zijn leerling Anaximander is het universum voortgekomen uit een ei dat de tegengestelde eigenschappen warm en koud, en vochtig en droog bevat. Hieruit groeide een koude, vochtige massa omgeven door een ring van vuur, gescheiden door een donkere nevel. Uit de koude massa vormde zich als een platte schijf de aarde, en het vuur werd opgesloten in wielvormige banden met gaatjes waar het sterrenlicht doorheen schijnt.^[4]

Hiermee is Anaximander de eerste geweest die gewag maakte van de leer van de vier elementen (aarde, lucht, water, vuur) en de vier kwaliteiten (warm, koud, vochtig, droog), aangevuld met een onbepaald oerelement (apeiron), die later via Empedocles en Aristoteles de basis van de alchemie (zie hoofdstuk V) zou gaan vormen.

De atomist Democritus die bij deze traditie aansluit, beschouwde de ruimte als oneindig uitgestrekt en leeg denkbaar. Pythagoras en zijn navolgers kwamen tot een bolvormige aarde die zich, net als de andere planeten en een veronderstelde ‘tegenaarde’, rond een centraal vuur moest bewegen. Dat noch het vuur, noch de tegenaarde te zien was kreeg als verklaring dat het deel van de aarde waarop wij ons bevinden daar steeds van is afgewend. De ruimte beschouwden zij als leeg denkbaar en discontinu van structuur, wat wil zeggen dat er ‘kleinste ruimtedeeltjes’ of ‘afzonderlijke ruimtepunten’ zouden bestaan, waarvan grote aantallen bij elkaar de ruimte vormen, net zoals vele kleine stoffelijke deeltjes dat doen met de materie.

De reden waarom Heraclites van Efeze hier ook genoemd moet worden is niet vanwege zijn interessante ideeën over de ontstaansgeschiedenis van de wereld, omdat hij die als eeuwig bestaand beschouwde. Wel vond hij dat naast de buitenwereld ook de binnenwereld bestudeerd moet worden en kan hij met zijn belangstelling voor dromen, gevoelens en karakter als de ontdekker van de innerlijke ruimte of als – zo niet eerste dan toch wel heel vroege − psycholoog worden aangemerkt. Verder zag Heraclites fundamentele tegenstellingen en strijd ten grondslag liggen aan alle veranderingsprocessen op weg naar uiteindelijke eenheid – zonder hoge en lage noten geen akkoorden en zonder mannelijk en vrouwelijk geen dieren − wat zowel in de traditie van de Perzische profeet Zarathoestra, als in de alchemistische traditie van de even oude Egyptenaar Hermes Trismegistus een essentiële rol speelt. Ook verklaart dit idee van strijd aan de basis van het bestaan het belang dat Heraclites hechtte aan het element vuur, waarmee hij zowel het goddelijke, bezielende vuur als het alles verschroeiende en verterende vuur bedoelde.^[5] Dat alles zowel verandering als eenheid is bracht Heraclites tot uitdrukking in zijn bekendste uitspraak dat als we tweemaal in een rivier stappen die tegelijk dezelfde als een andere rivier is, wat trouwens meteen een van de helderste van de hele verzameling van hem bewaard gebleven duistere oneliners is: ‘Vuur leeft de dood van de aarde en lucht leeft de dood van het vuur, water leeft de dood van de lucht, aarde van het water.’^[6] Mogelijk dat Heraclites hiermee een cyclisch proces van ontstaan en vergaan op het oog had, en er wordt wel geopperd dat hij een typisch voorbeeld is van iemand die graag wilde laten merken over bijzondere kennis te beschikken, zonder die om wat voor geheimzinnige reden dan ook meteen aan de grote klok te willen hangen.

De ideeën van de Eleaat Parmenides, een tijdgenoot van Heraclites maar woonachtig aan de andere kant van het Griekse rijk aan de westkust van Italië, komen met betrekking tot de ontstaansgeschiedenis van het universum overeen met die van de Efezer: in essentie is de wereld eeuwig en onveranderlijk, en voor zover we wel verandering en beweging waarnemen moet dat als een illusie worden beschouwd. Dat lijkt erg vreemd maar wordt begrijpelijker als we in aanmerking nemen dat het denken voor Parmenides een soort van geestelijk ‘aftasten’ is, wat betekent dat ‘niets’ niet gevoeld, dus ook niet gedacht kan worden en daarom niet kan bestaan. En als ‘niets’ niet kan bestaan kan er ook niet ‘iets’ uit ‘niets’ ontstaan, zodat alles wat bestaat ook altijd al onveranderlijk bestaan moet hebben.^[7] Omdat ruimte en tijd door Parmenides tot de illusies werden gerekend, dus niet behorend tot de werkelijkheid zelf die ook niet echt te kennen valt, mag hij op dit punt gelden als een soort protokantiaan. Op deze plaats een beetje buiten de orde maar wel interessant om te weten is dat Parmenides – en niet alleen hij − zijn filosofische teksten in de vorm van hexameters schreef, op dezelfde manier als Homerus zijn heldendichten Ilias en Odyssee (zie hoofdstuk V). Het is daarbij goed voor te stellen dat ook de manier van voordragen, in gezelschappen of op marktplaatsen, weinig verschil vertoond zal hebben en er zodoende toentertijd een veel geringere afstand tussen de disciplines literatuur, poëzie, filosofie en wetenschap bestond dan we er tegenwoordig in menen te zien.

In het wereldbeeld van de Atheense school van Plato en Aristoteles bevindt de aarde zich in het kosmische oercentrum en verkeert in absolute rust. De ruimte om de aarde is niet leeg denkbaar en wordt omsloten door eerst acht en later zo’n zestigtal concentrisch of epicyclisch roterende kristal­len schalen of sferen waaraan de planeten en de sterren zijn bevestigd.

Met een voor onze begrippen uiterst geringe diameter zou het hele universum makkelijk binnen de aardbaan passen. Deze eindigheid en beslotenheid van de ruimte stelde de Griekse denkers zelf al voor de nodige problemen, waarvan de pythagoreeër Archytas zich volgens Lucretius al bewust was:

Laten we even aannemen dat het universum begrensd is. Als een man de uiterste grens bereikt en een snelle speer werpt, zou die met grote kracht weggeslingerde speer dan nog verder weg vliegen of stuit hij op een of andere barrière, wordt hij in zijn vlucht gestuit?^[8]

Wat er speciaal opvalt aan de ruimtelijke voorstellingen van de Grieken in relatie tot die van de vroegere Egyptenaren, is dat er in de teksten weliswaar sprake is van driedimensionaliteit (schalen, sferen en bollen), maar dat in de afbeeldingen tweedimensionale cirkels worden gebruikt. Euclides kwam in zijn Elementen (3^de eeuw v.Chr.) nauwelijks verder dan een tweedimensionale (vlakke) meetkunde – alleen de laatste drie van de zestien boeken gaan over de constructie en de eigenschappen van ruimtelijke lichamen − en ook in Ptolemaeus’ Almagest (2^de eeuw n.Chr.) wordt alleen van vlakke figuren gebruikgemaakt, hoewel hij wel enige, zij het in onze ogen klungelige pogingen heeft ondernomen zijn cirkelconstructies in drie dimensies weer te geven.^[9]

Wat de kosmologie betreft tekenden Tycho Brahe en zijn leerling Johannes Kepler vanaf de zestiende eeuw pas perspectivisch volwaardige driedimensionale afbeeldingen (in het platte vlak). Architecten en beeldende kunstenaars als Filippo Brunelleschi en Leon Batista Alberti waren daar een dikke eeuw eerder al mee bezig, en pas in de zeventiende eeuw breidde René Descartes de vlakke, euclidische meetkunde formeel uit tot de driedimensionale stereometrie die nu nog op onze scholen wordt onderwezen. Dit rechtvaardigt wel de door de wetenschapsfilosoof Paul Feyerabend gestelde vraag of de Egyptenaren en de Grieken de ruimte wel driedimensionaal zagen maar niet in staat waren dat ook af te beelden, of dat ze een correcte afbeelding maakten van de tweedimensionale ruimte die ze zagen (zie hoofdstuk VII). Mogelijk verhelderend in dit verband is de opmerking van de Angelsaksische monnik Beda Venerabilis die in de achtste eeuw nog optekende dat als hij schreef dat de aarde rond was, hij bedoelde zo rond als een speelbal en niet zo rond als een schild of een schaal.^[10] Kennelijk was het onderscheid tussen bol en cirkel in het menselijke bewustzijn nog niet voor iedereen even voor de hand liggend als het tegenwoordig voor ons is.

Even tussendoor: ondersteuning voor de wat vreemd lijkende stelling dat het menselijke bewustzijn zich ontwikkelt en dat er niet alleen continue maar ook sprongsgewijze veranderingen in onze perceptie van de wereld kunnen voordoen wordt gevonden in de afwijking bij hedendaagse mensen die niet in staat blijken om ruimte te zien. Francis Crick vermeldt in zijn boek The Astonishing Hypothesis. The Scientific Search for the Soul dat er een paar gevallen bekend zijn van mensen die geen diepte kunnen zien:

Zij zien de wereld, de mensen en de andere voorwerpen daarin als totaal plat, zodat ook de dikste personen eruit zien als bewegende uit hardboard gezaagde figuren met alleen een omtrek.^[11]

Een zelfde soort vraag kan worden gesteld met betrekking tot de tijd. Feyerabend komt op basis van bepaalde passages uit Homerus’ Ilias (8^ste eeuw v.Chr.) tot de conclusie dat die, in ieder geval aan de kust van Klein-Azië, eerder uit een discontinue opeenvolging van statische momenten bestaat, dan uit een continue stroom: Achilles sleept het lichaam van de verslagen Hector achter zich aan over de rulle aarde, maar niettemin ligt Hectors hoofd in het opwolkende stof. Maar ook tegenwoordig zijn er mensen die het continue verloop van beweging in de tijd niet kennen en een opeenvolging van stilstaande beelden zien:

Een bijzonder geval van een patiënt bij wie het bewustzijn van beweging ontbrak werd vermeld door de psycholoog Joseph Zihl en zijn medewerkers. Toen zij haar voor het eerst onderzochten verkeerde zij in een zeer angstige toestand. Dat is niet verwonderlijk omdat de mensen en dingen die ze op een bepaalde plaats zag plotseling ergens anders verschenen zonder dat zij ze had zien bewegen. Dat werd vooral problematisch als ze een straat wilde oversteken, omdat een auto die ver genoeg weg scheen plotseling heel dichtbij bleek te zijn. Als ze probeerde een kopje thee in te schenken zag ze alleen een glinsterende bevroren straal en omdat ze het niveau in het kopje niet zag stijgen liep dat vaak over. Zij ervoer de wereld zoals wij die zien op een stroboscopisch verlichte dansvloer in een discotheek.^[12]

Eigenlijk kennen we het verschijnsel allemaal wel op een veel tragere tijdschaal, schrijft Crick, omdat voor ons de grote wijzer van een klok niet lijkt te bewegen, maar als we even later kijken die duidelijk op een andere plaats blijkt te staan. Kennelijk beschikken we over een speciaal systeem in onze hersenen waarmee we beweging – relatief snelle verplaatsing in de tijd − kunnen waarnemen, zonder dat we dat logische hoeven te concluderen uit twee waarnemingen op verschillende momenten, net zoals we de ruimte construeren uit een opeenvolging van tweedimensionale beelden. Ons bewustzijn ontwikkelt zich kennelijk door de geschiedenis heen, en er is geen enkele reden om aan te nemen dat we nu het laatste stadium hebben bereikt. Mogelijk dat latere generaties – die zich intussen geheel vertrouwd hebben gemaakt met Einsteins experimenteel bewezen vierdimensionale tijdruimte − zich net zo zullen verbazen over onze voorstelling van beweging door een driedimensionale wereld, als wij dat doen over de Egyptenaren die in hun uit vlakke dia’s opgebouwde wereld door de beperking van hún neurale structuren, het driedimensionale verband daartussen niet zagen.

Plato had een geheel eigen opvatting over de vorm van de ruimte, die in verband met een hedendaagse, op satellietwaarnemingen gebaseerde voorstelling aparte aandacht verdient. Plato was op de hoogte van het bestaan van de vijf regelmatige veelvlakken – tetraëder of viervlak, kubus of zesvlak, octaëder of achtvlak, dodecaëder of twaalfvlak en icosaëder of twintigvlak – waarvan hij er vier aan de elementen aarde, water, lucht en vuur verbond, maar de vijfde, het regelmatige twaalfvlak, aan de kwintessens of aan de kosmos als geheel, wat nog tot uitdrukking komt in de twaalf tekens van de dierenriem. ‘God heeft dit lichaam voor het hele universum gebruikt,’ wist Plato, ‘en er figuren in de vorm van sterrenbeelden op geborduurd.’^[13] Opvallend daarbij is dat hij de twaalf tekens niet ruimtelijk maar cirkelvormig over de dierenriem verdeelt.

De tijd is in Plato’s visie ‘de bewegende afbeelding van de eeuwigheid’,^[14] en Aristoteles benoemde de tijd pythagoreïsch als ‘het getal van de beweging met betrekking tot het voor en het na, dat continu is, aangezien ze een eigenschap is van datgene wat continu is’.^[15]

Naast dit besloten en continue aristotelische wereldbeeld, en daar vervolgens bijna twee millennia lang door overschaduwd te zijn om pas in de zeventiende eeuw in het Westen te worden herontdekt en gewaardeerd, bestond er nog de opvatting van de atomisten Leucippus en Democritus, die uitgaat van een oneindig uitgestrekte en leeg denkbare ruimte, opgevuld met zeer veel rondwervelende atomen waaruit de dingen ontstaan. Zó uitgestrekt dat er, als fraai staaltje van het Griekse speculatieve denken, behalve de eigen wereld nog vele andere mogelijke werelden in waren aan te treffen: in sommige van die werelden ontbreken zon en maan, in andere zijn ze groter dan in onze wereld, in weer andere zijn ze talrijker aanwezig. De afstanden tussen die werelden zijn verschillend, in sommige delen van de ruimte zijn er meer werelden, in andere weer minder, en die werelden kunnen ontstaan, groeien en na op hun hoogtepunt te zijn gekomen, weer afnemen en vergaan of vernietigd worden doordat ze tegen elkaar botsen, en op sommige ervan bevinden zich geen levende wezens of planten en zelfs geen water.^[16]

De epicuristen grepen terug op de atomisten en zagen het universum als een uitgestrekte ruimte, opgevuld met vele deeltjes die kunnen samenklonteren en zo de materiële dingen vormen. Ook de ziel moest als materieel worden gezien en bestaat uit een toevallige constellatie van atomen die na de dood weer in losse deeltjes uiteenvalt. Waarnemingen kunnen plaatsvinden doordat stromen van deeltjes de zintuigen bereiken, en daar voor indrukken zorgen.

In tegenstelling tot de vaak gehoorde opvatting dat in de christelijke Middeleeuwen, voorafgaand aan de ontdekking van Amerika door Christophorus Columbus, de aarde vergelijkbaar met de hedendaagse flat-earthers als plat werd beschouwd − op basis van fysisch naïeve argumenten als de onmogelijkheid om met het hoofd omlaag te lopen en de religieuze opvatting dat het op de Dag des Oordeels niet tegelijk ergens anders nacht kan zijn − waren alle serieus te nemen denkers, zoals de vroege middeleeuwer Augustinus en de latere Thomas van Aquino, aanhangers van de bolvorm. Het Dag des Oordeels-probleem – in dat deel van de wereld waar het nacht was zouden er geen mensen kunnen worden geoordeeld − werd omzeild door de nachtkant van de aarde onbewoond te verklaren. Hedendaagse flat-earthers maken zich meer zorgen over de doel- en zinloosheid van het menselijke bestaan op een goddeloos rond de zon tollend bolletje.

Over de tijd brak Augustinus zich rond het jaar vierhonderd in zijn Belijdenissen het hoofd, overigens zonder veel succes:

Wat is dus tijd? Wanneer maar niemand het me vraagt, weet ik het; wil ik het echter uitleggen aan iemand die het vraagt, dan weet ik het niet. Nochtans zeg ik zonder aarzelen dat ik dit weet: indien er niets voorbij zou gaan, zou er geen verleden tijd, indien er niets op komst zou zijn, zou er geen toekomstige tijd, indien er niets zou zijn, zou er geen tegenwoordige tijd zijn. Maar die twee tijden, de verleden en de toekomstige tijd: hoe zijn ze dan eigenlijk, indien enerzijds de verleden tijd er niet meer, anderzijds de toekomstige tijd er nog niet is? En wat de tegenwoordige tijd betreft: indien hij steeds tegenwoordig zou zijn en niet tot verleden over zou gaan, zou hij geen tijd meer zijn, maar eeuwigheid. Indien dus de tegenwoordige tijd daardoor tijd wordt, dat hij tot verleden overgaat, hoe zeggen we ook van hem nog dat hij is, hij, wiens zijn veroorzaakt wordt doordat hij niet meer zal zijn, zodat wij alleen maar naar waarheid kunnen zeggen dat hij tijd is, omdat hij neigt naar niet-zijn.^[17]

Gezien de overwegende invloed van het aristotelisme beschouwde men het verloop van de tijd als regelmatig, continu en overal hetzelfde, met dien verstande dat Aristoteles de wereld een eeuwig bestaan toekende en dus geen begin of einde accepteerde, terwijl die wereld in de christelijke versie door één enkele handeling is geschapen en op dezelfde manier weer ten onder zal gaan. ‘Tijd is wat verandert en zich vermenigvuldigt,’ schreef de mysticus meester Eckhart, die een generatie na Thomas van Aquino leefde, ‘eeuwigheid houdt eenvoudigweg stand.’^[18]

Aan de ontwikkeling van het rationeel-wetenschappelijke wereldbeeld − van geocentrisch, waarbij de aarde het rustende middelpunt vormt waar de zon, de maan, de planeten en de vaste sterren omheen draaien, naar heliocentrisch, waarbij de planeten, inclusief de aarde, om de zon draaien en de zon als één van de vele sterren wordt beschouwd − zijn in de diverse stadia de nodige namen verbonden: Nicolaus Cusanus, Johannes Regiomontanus, Nicolaus Copernicus, Giordano Bruno, Tycho Brahe, Johannes Kepler, Galileo Galilei, René Descartes, Isaac Newton en vele anderen. De volledige overgang nam zo’n tweehonderdvijftig jaar in beslag. In de heliocentrische tussenvorm van Copernicus is er nog sprake van een vaste sterrensfeer en in die van Brahe draaien alle andere planeten weliswaar om de zon, maar de zon om de rustende aarde.

Brahe en ook Kepler − de eisen van de kerk indachtig − vertelden er uitdrukkelijk bij dat hun wereldbeelden slechts wiskundige modellen waren die niet met de geocentrische werkelijkheid verward mochten worden, maar Bruno beschouwde het heliocentrisme en de oneindigheid van het heelal als werkelijk, wat mede heeft geleid tot zijn veroordeling tot de brandstapel in het jaar1600 precies. Galileï heeft zijn heliocentrische standpunt in het aanzicht van de martelwerktuigen van de Heilige Inquisitie weliswaar met de mond herroepen, maar, zoals het apocriefe verhaal vertelt, niet met de geest: ‘En toch beweegt ze!’

Vanaf Kepler, die gebruik kon maken van de vele nauwkeurige waarnemingen van planeetposities in het firmament die zijn leermeester Brahe jarenlang nacht in nacht uit in zijn Praagse observatorium had opgetekend, is het ingewikkelde stelsel van goddelijk volmaakte cirkels, excentrieken en cycloïden voor de planeetbanen vervangen door ellipsen, wat de Grieken als een verboden onvolmaaktheid zouden hebben beschouwd, maar wat een wiskundig veel eenvoudiger beeld oplevert.

Ook Kepler zelf was niet blij met het opgeven van de cirkels in ruil voor ellipsen, maar nam er genoegen mee dat hij ‘door het binnenhalen van één kar met mest van een veel grotere mesthoop verlost was’.^[19] De Grieken stelden zich tevreden met ‘mooie’ hypothesen, maar toen het waarnemen en het experimenteren eenmaal in de wetenschap waren ingevoerd, kon het gebeuren dat één lelijk feit zo’n wonderschone hypothese volledig onderuit haalde.^[20]

In het voltooide heliocentrische wereldbeeld heeft de aarde haar centrale plaats geheel verloren: zij draait, net als de andere planeten, om haar eigen as en om de zon. De ruimte is niet meer omsloten door een vaste sterrensfeer, maar strekt zich in alle richtingen oneindig uit en is leeg denkbaar, wat wil zeggen dat de ruimte als zelfstandig verschijnsel kan bestaan, onafhankelijk van de daarin aanwezige materie en de tijd. De zon is een van de vele miljarden sterren in het Melkwegstelsel, dat op haar beurt weer een van de vele miljarden sterrenstelsels in het universum is.

Met name Newton kende aan de tijd net zo’n absoluut karakter toe als aan de ruimte:

Als zodanig, en uit eigener natuur, vloeit de absolute, ware, en mathematische tijd gelijkermate, zonder enige relatie tot iets anders.’^[21]

Speelden voor Newton de gebeurtenissen zich af in een absolute ruimte en tijd, zijn tijd- en vakgenoot Georg Wilhelm Leibniz hing juist een tegenovergestelde mening aan:

Ik heb meer dan eens gezegd dat ik de ruimte, zoals ook de tijd, als iets louter relatiefs beschouw; dat ik de ruimte als een orde van co-existenties beschouw, en de tijd als een orde van opeenvolgingen,^[22]

wat betekent dat Leibniz’ ruimte niet kan bestaan zonder dingen erin en zijn tijd niet zonder gebeurtenissen. Leibniz’ naam komt ook nog wel voor met een extra t (Leibnitz) en het verhaal gaat dat hij wegens zijn opvatting over het niet bestaan van de absolute tijd de t uit zijn naam heeft verwijderd.^[23]

René Descartes heeft voor de ruimte een wiskundige beschrijving ontworpen die ons ook tegenwoordig nog grote diensten bewijst. Aan ieder punt (plaatsvector) van de ruimte wordt een unieke combinatie van drie onafhankelijke getallen (coördinaten) toegekend, afgemeten van een arbitrair gekozen nulpunt (oorsprong) in drie onderling loodrechte richtingen (coördinaatassen x, y en z).

Met minder dan drie getallen kunnen niet alle punten in de ruimte worden aangegeven, en meer dan drie is niet nodig, omdat die altijd op drie onafhankelijke getallen te herleiden zijn. De drie onderling loodrechte coördinaatassen heten zo een ‘complete, orthogonale (loodrechte)’ basis te leveren voor de driedimensionale vectorruimte. Op deze wijze kan iedere plaats in een kamer, waar zich om de gedachten te bepalen een mug bevindt, aangegeven worden door te beginnen in een van de benedenhoeken het aantal stappen te tellen die langs een muur, vervolgens evenwijdig aan een muur daar loodrecht op, en ten slotte loodrecht omhoog gezet moeten worden om dat punt te bereiken. Vliegt de mug van het ene naar het andere punt in de ruimte, dan kan de verplaatsing worden weergegeven door de verschillen van de twee getallen in elke richting afzonderlijk te bepalen.

Het belang van deze onderneming is dat het nu mogelijk werd meetkundige verschijnselen, zoals lijnen, vlakken en ruimtelijke figuren, in een algebraïsch formalisme te vangen, en omgekeerd algebraïsche vergelijkingen meetkundig te verbeelden, zodat Descartes is te beschouwen als degene die de grote verzoening tussen deze voordien zo verschillende takken van de wiskunde tot stand heeft gebracht. En hoe formeel deze methode er ook mag uitzien, de achterliggende beweging was in staat de classicus en dichter Johan Dèr Mouw in vervoering te brengen:

Maar ’k danste ’t liefst volgens wiskund’ge wet:
Door ’t x-y-vlak zwierde ik horizontaal,
en dan met lucht’ge sprongen, vertikaal,
zweefde als een mug ik op en af langs z.^[24]

Herinnerend aan Parmenides beschouwde Immanuel Kant, en in navolging van hem Arthur Schopenhauer, ruimte en tijd niet als eigenschappen van een buiten en ook zonder de mens bestaande, objectief wetenschappelijke realiteit, zoals Descartes en Newton dat deden, maar als vooraf gegeven aanschouwingsvormen of categorieën van het menselijke bewustzijn of de menselijke geest, waarmee overzichtelijke structuren worden aangebracht in een van zichzelf ordeloze en direct onkenbare wereld:

Tijd is geen objectief en reëel ding, noch is ze een substantie, of een eigenschap, of een relatie, maar ze is de natuurlijkerwijze noodzakelijke subjectieve voorwaarde van de menselijke geest, dewelke het zintuiglijke ding volgens één of andere wet coördineert.^[25]

Nadat in de wetenschap de cartesiaanse en newtoniaanse ideeën over ruimte en tijd bij elkaar de respectabele periode van zo’n twee- à driehonderd jaar hadden standgehouden, haalde Einstein de zaken in het begin van de twintigste eeuw weer grondig overhoop (zie hoofdstuk XI). In een van zijn relativistische versies is de ruimte nu weer besloten, zij het dat hij er in tegenstelling tot Aristoteles een in zichzelf gekromde, vierdimensionale tijdruimte voor nodig heeft, waarbij de (imaginaire) tijdas en de drie (reële) ruimtelijke dimensies niet meer strikt van elkaar te scheiden zijn. Het ruimtelijke aspect daarvan is niet meer absoluut of homogeen, dat wil zeggen ‘verkort’ bij hoge snelheden, ‘verdicht’ of ‘kromt’ tot zwaartekracht van aanwezige massa’s, is volgens een mogelijke interpretatie evenmin leeg denkbaar als die van Aristoteles en bevindt zich bovendien in een toestand van periodieke of permanente expansie.

Is bij Einstein de ruimte, ook al net als bij Aristoteles, nog continu en tot in het oneindige deelbaar, later lopen de meningen van degenen die de relativi­teitstheorie in overeenstemming proberen te brengen met de kwantummechanica daarover uiteen: supersnaar- of supermembraantheoretici beschouwen de structuur van de ruimte op microniveau als continu, maar twistortheoretici gaan weer uit van de pythagoreïsche ‘kleinste ruimtedeeltjes’.

Ook het tijdsaspect heeft in Einsteins relativistische opvatting het absolute karakter verloren: een seconde duurt niet overal in het universum even lang. Hóe de tijd verloopt, hangt af van de zwaartekracht of de ruimtekromming ter plaatse van het geobserveerde systeem en de relatieve beweging van dat systeem ten opzichte van een waarnemer. Omdat het hier over beelden of voorstellingen van ruimte en tijd gaat, kunnen we ons afvragen hoe ‘voorstelbaar’ Einsteins vierdimensionale tijdruimte dan wel is, maar daar zal uitgebreid op worden ingegaan in het elfde hoofdstuk, waar de relativiteitstheorie aan de orde komt.

In het meest recente, geheel gemathematiseerde wereldbeeld wordt gewerkt met de n-dimensionale (vector)ruimte, waarin n niet al­leen gehele waarden tot oneindig (in de kwantummechanica), maar ook gebroken waarden zoals ½ of ¼ (bij de fractalen), en complexe waarden waarin de wortel uit een negatief getal voorkomt (in de twistortheorie) kan aannemen. Dat is dermate ver geabstraheerd van wat nog als voorstelbare fysische werkelijkheid is te beschouwen dat de mathematische ruimte niet hier bij de voorstellingen, maar verder in dit hoofdstuk bij het formalisme besproken zal worden.

Samengevat verandert het ruimtebegrip in het natuurwetenschappelijke denken vanaf Aristoteles tot heden van een besloten, statisch, niet leeg denkbaar, mensgecentreerd beeld, via een open, leeg denkbaar, driedimensionaal beeld, tot een open of in zichzelf besloten maar onbegrensd, dynamisch, vierdimensionaal beeld, en in de wereld van de supersnaren tot een tien- of elfdimensionaal beeld. Daar moet aan worden toegevoegd dat de indruk van voortdurende ontwikkeling of verbetering in het denken over sterren, planeten en de ruimte waarin ze zich bewegen ten dele schijn is, omdat een aantal betrekkelijk recente voorstellingen ook al bij de Grieken is te vinden. Heraclides Ponticus, een tijdgenoot van Plato en Aristoteles, nam aan dat de aarde om haar as draait en dat het heelal zich oneindig uitstrekt, terwijl zijn navolger Aristarchus er zelfs van uitging dat de zon het middelpunt van het universum is, waar de aarde, net als alle andere planeten, omheen beweegt.^[26] In feite heeft de humanist Copernicus, toch een sleutelfiguur in de ontwikkeling van de moderne wetenschap, zijn heliocentrische ideeën rechtstreeks betrokken van Aristarchus, wiens zeventienhonderd jaar eerder geschreven teksten hij zeker heeft gelezen, hoewel hij in zijn publicaties de indruk heeft willen wekken het helemaal zelf te hebben verzonnen:

Toen ik me met dit erg moeilijke en bijna onoplosbare probleem ging bezighouden, kreeg ik opeens de ingeving hoe het opgelost kon worden met minder en veel eenvoudigere constructies dan tot nu toe gebruikelijk waren.^[27]

Interessant is ook nog dat Aristarchus’ heliocentrisme al in de vijfde eeuw door de Indiase denker Aryabhata is herontdekt, zonder dat hij erin geslaagd is medestanders of navolgers te winnen, in tegenstelling tot Copernicus duizend jaar later. ^[28] Zoals al eerder opgemerkt is voor het succes van een goed idee kennelijk meer nodig dan alleen het goede idee zelf, wat ook al het geval was met William Harvey’s in 1628 gepubliceerde model van de bloedsomloop dat vierhonderd jaar eerder al door de Syrische arts Ibn al-Nafis was voorgesteld, maar door de medische wereld van zijn tijd geheel is genegeerd.^[29] Helemaal frappant in dit verband is de twaalfvlakvormige voorstelling die Plato zich van de ruimte maakte, omdat een in 2001 gelanceerde satelliet die de kosmische achtergrondstraling nauwkeurig in kaart moet brengen metingen heeft verricht waaruit de onderzoekers hebben afgeleid dat het heelal eindige afmetingen met een dodecaëdrische symmetrie heeft. Weliswaar geen dodecaëder in de rechte, driedimensionale ruimte met een duidelijk onderscheidbare binnen- en buitenkant zoals Plato zich dat voorstelde, maar een in zichzelf gekromde meerdimensionale dodecaëder.^[30]

Het denken over de tijd is door de eeuwen heen al evenzeer aan spectaculaire veranderingen onderhevig. Parmenides beschouwde de voort­gang van de tijd als een illusie, Aristoteles als lineair en onbegrensd, weer andere Grieken als cyclisch, Thomas van Aquino ook als lineair, maar met een duidelijk begin en met een even welomschreven en definitief einde, Giordano Bruno weer als een illusie, Newton als lineair, regelmatig, continu en absoluut, en in de moderne fysica ten slotte neigen sommigen weer naar het idee van Parmenides en Bruno dat zo niet de tijd zelf dan toch de stroom van de tijd slechts een illusie is. Zo beweert de Duitse wis- en natuurkundige Hermann Weyl, zich baserend op de relativiteitstheorie van Einstein, dat er in de objectieve fysische wereld geen verschil bestaat tussen de richting van het verleden en de toekomst, dat de éénrichtingsstroom van de tijd daarom beschouwd moet worden als schijn.^[31] Einstein zelf twijfelde ook niet aan deze merkwaardige consequentie van zijn theorie. In een troostende brief aan de familie van zijn kort daarvoor overleden vriend Michele Besso schreef hij vier weken voor zijn eigen dood:

Besso is iets eerder dan ik vertrokken uit deze vreemde wereld, maar dat betekent weinig. Voor ons fysici, is het onderscheid tussen verleden, heden en toekomst hooguit een hardnekkige illusie, niet meer.^[32]

Hiertegen wordt echter weer fel geopponeerd door bijvoorbeeld de Belgische Nobelprijswinnaar Ilya Prigogine, die juist aan de ‘werkelijke’ voortgang van de tijd een belangrijke, zo niet de belangrijkste, rol toekent:

De tijd ontkennen − de tijd terugbrengen tot niet meer dan een toepassing van een omkeerbare wet − komt erop neer dat de mogelijkheid wordt uitgesloten een visie op de natuur te ontwikkelen die verenigbaar is met de hypothese dat de natuur levende wezens heeft voortgebracht, in het bijzonder de mens.^[33]

De illusoire stroom van de tijd, schrijft Prigogine, is in tegenspraak met de alledaagse ervaring van processen die overduidelijk maar één voorkeursrichting kennen: het is immers ondenkbaar dat zich in een kist onder de grond of in een urn uit een hoopje beenderas uit allerlei toevallig aanwezige moleculen een hoogbejaard menselijk lichaam zal opbouwen en tot leven komen, en dat vervolgens een permanente verjongingskuur ondergaat om ten slotte als baby in de baarmoeder te verdwijnen van een vrouw die de andere kant op zijn moeder zou zijn geweest. Om een minder dramatisch voorbeeld van een proces met tijdrichting te geven: de moleculen van een donkerblauwe inktdruppel zullen zich in een glas water net zo lang verspreiden tot er een lichtblauw homogeen mengsel is ontstaan, terwijl het omgekeerde proces − een inktdruppel die zich spontaan uit het mengsel afzondert − nooit zal voorkomen. Toch is de tijdomkeerbaarheid van fysische processen hiermee niet van de baan en de verklaring daarvoor moet gezocht worden in de statistische mechanica of thermodynamica, zoals die door Ludwig Boltzmann is geformuleerd (zie hoofdstuk XI).

Vier dwergen wonen bij elkaar in een bos. Hun huis staat bij een kruispunt van twee wegen. In elk van de vier richtingen bevinden zich weer kruispunten met andere weggetjes, en zo het hele bos door. Als de dwergen bij hun ochtendwandeling elk een bepaalde kant op lopen, alleen of toevallig samen met een of meerdere anderen, en bij ieder kruispunt dat ze bereiken gedachteloos en zonder speciale voorkeur een richting kiezen − rechtdoor, linksaf, rechtsaf of terug − wat is dan de kans dat ze elkaar alle vier ooit nog eens thuis zullen treffen? Aangekomen op het eerste kruispunt is de kans dat een dwerg toevallig op zijn schreden terugkeert 1 op 4, en dat alle vier dwergen dat doen dus 1 op 4x4x4x4=256, wat betekent dat de kans dat ze elkaar weer thuis zullen ontmoeten na één kruispunt al heel klein is, en zolang de dwergen gedachteloos blijven voortlopen neemt die kans bij ieder volgend kruispunt dramatisch verder af. Wordt daarbij in aanmerking genomen dat een complex moleculair systeem, zoals een inktdruppel in een glas water, geen vier maar miljarden deeltjes bevat en het aantal keuzemogelijkheden op ieder kruispunt niet vier maar vele miljarden bedraagt, dan valt het wel te begrijpen dat de kans dat een inktdruppel zich spontaan uit een mengsel zal vrijmaken weliswaar niet exact nul is maar wel zo ontzettend klein dat het in een eindige tijdsperiode, hoe lang ook, nooit zal plaatsvinden. Dat wij jonger geboren worden dan wij sterven is, volgens deze statistisch-mechanische redenering, toe te schrijven aan het feit dat het aantal moleculaire configuraties dat ons ‘ouder’ maakt, op ieder moment ontelbaar vele malen groter is dan het aantal ‘jongere’, maar fundamenteel onmogelijk is verjonging niet.

Dat er ondanks dit statistisch-mechanische ‘streven naar optimale wanorde’, uitmondend in de entropie- of warmtedood van het heelal, toch voortdurend ordelijke structuren ontstaan, of anders gezegd, dat de vier dwergen niet gedoemd zijn bij iedere gedachteloze ochtendwandeling in het bos te verdwalen en in plaats van elkaar nooit meer terug te zien toch weer samen thuiskomen, komt door een structurerend principe als het hongergevoel waardoor ze hun gedachteloosheid opgeven en de bewuste intentie hebben naar huis terug te keren omdat ze weten dat daar een goed gevulde provisiekast staat. Naast de intentieloze processen waarbij de tijd geen voorkeursrichting heeft, bestaan er kennelijk ook daaraan complementaire processen die intentioneel en daarom ordenend zijn met een specifieke voorkeur voor één bepaalde richting van de tijd, of liever als processen die zich voordoen alsof God bestaat.

Een aparte plaats in het denken over de tijd wordt ingenomen door drie filosofen uit het eind van de negentiende en het begin van de twintigste eeuw: Henri Bergson, William James en Samuel Alexander. Bergson maakte een onderscheid tussen enerzijds fysische of ruimtelijke tijd en anderzijds duur. Onder duur verstaat Bergson de ervaring van de tijdstroom waarin verschillende bewustzijnstoestanden zich ontvouwen en van elkaar doordrongen zijn, zoals de muzieknoten in een melodielijn. Daarbij is geen sprake van een opeenvolging van onderscheidbare momenten, want het heden is vol herinneringen aan het verleden en verwachtingen voor de toekomst. Zo kunnen we ons een opeenvolging van momenten zonder onderscheidingen voorstellen, een wederzijds doordringen en een onderlinge verbondenheid, waarvan elk het geheel representeert en er niet van geïsoleerd kan worden.^[34] In het abstracte denken dat Bergson daar tegenover stelt ontstaat dan wat hij het gekunstelde idee van de fysische of ruimtelijke tijd noemt. Er heeft zelfs een discussie plaatsgevonden tussen Einstein en Bergson, waarbij de laatste tevergeefs probeerde te bewijzen dat zijn opvatting over ‘duur’ veel overeenkomst vertoont met Einsteins relativistische tijd. Tevergeefs, omdat de tijd van Einstein, net als die van Newton, zich gedachteloos afspeelt in de buitenwereld, terwijl Bergsons duur betrekking heeft op de bewuste ervaring van de tijd in de binnenwereld. Niettemin is Bergsons idee wel begrijpelijk omdat het ‘nu’ in Einsteins theorie alleen maar een scherp bepaald moment is in onze directe omgeving, ons ‘hier, maar vanuit ons gezichtspunt op alle andere plaatsen in het universum uitgebreidheid bezit, en hoe verder weg hoe langer het ‘nu’ duurt: gemiddeld vijftien minuten op Mars, acht jaar op Proxima b en miljoenen jaren in de Andromeda-nevel.^[35]

James ontwikkelde een vergelijkbare theorie − onafhankelijk van Bergson, hoewel beide heren op latere leeftijd goed bevriend raakten − waarvan de kern is dat er filosofisch gesproken geen ‘heden’ kan bestaan: het heden is het ondeelbare moment op het grensvlak tussen het verleden en de toekomst; zodra we het willen vastpakken is het al weer verdwenen, ‘vergaan in het moment van ontstaan’. Dat we toch een heden ervaren betekent dat het ‘nu’ psychologisch enige duur bezit, dat door het bewustzijn wordt geconstrueerd. Het psychologische ‘nu’ is niet de snede van een mes dat de tijd doorsnijdt, maar eerder een zadel van waaruit we beide richtingen in de tijd kunnen overzien.^[36]

Alexander stelde dat ‘de oplossing van alle vitale filosofische problemen afhangt van de oplossing van het probleem wat ruimte en tijd zijn en in het bijzonder hoe ze zich onderling verhouden’. Maar hoewel hij beweerde dat hijzelf en Bergson de eerste filosofen zijn die de tijd serieus hebben genomen, liepen hun opvattingen tamelijk uiteen. Terwijl voor Bergson ruimte en tijd juist onderscheiden moesten worden, veronderstelde Alexander – ook al geïnspireerd door Einstein − een sterk verbonden tijdruimte, waarbij de ruimte kan worden opgevat als het lichaam van de tijd en de tijd als de geest van de ruimte.^[37]

Kracht en beweging

Zo verschillend als de voorstellingen van ruimte en tijd door de geschiedenis heen zijn, zo verschillend zijn ook de voorstellingen van kracht en beweging, die immers in nauwe relatie tot ruimte en tijd staan: krachten veroorzaken en beïnvloeden beweging, en beweging speelt zich weer af in ruimte en tijd, terwijl in Einsteins versie kracht en beweging de vorm van de ruimte en het verloop van de tijd ook nog beïnvloeden.

Parmenides was er in de zesde eeuw v.Chr. van overtuigd dat alle verandering die we in de wereld waarnemen − dus ook beweging − berust op zinsbegoocheling, waar we ons derhalve niet mee bezig hoeven te houden. Zijn stelling dat het werkelijk zijnde één en onveranderlijk is werd door zijn leerling Zeno, aan de hand van diens beroemde paradoxen − waaronder die over Achilles en de schildpad, of Achilles en de pijl, of de schildpad en de haas − ook bewezen: we zien immers een verandering plaatsgrijpen die volgens Zeno’s redenering helemaal niet mogelijk is. Het schijnt dat Zeno bij een toevallige ontmoeting tussen hemzelf, zijn zeer oude leermeester Parmenides en de piepjonge Socrates de laatste eens uit zijn paradoxenboek heeft voorgelezen, waarop Socrates Parmenides ‘eerbiedwaardig en vreeswekkend tegelijk’ noemde en hem een ‘sublieme diepzinnigheid’ toekende,^[38] maar vond zijn ideeën ‘mooi gedacht, maar waanzin’^[39]

Zeno’s paradox betreft een denkbeeldige hardloopwedstrijd tussen Achilles en een schildpad. Om de uitslag van de wedstrijd niet geheel voorspelbaar te laten verlopen, wordt aan de schildpad bij de start een voorsprong van zeg x meter toegekend. Gaan we er verder voor het rekenkundige gemak van uit dat Achilles zich tweemaal zo snel over de aardbodem kan voortbewegen als de schildpad, dan blijkt deze confrontatie volgens Zeno’s logica nooit te kunnen worden beslecht. Immers, als Achilles de oorspronkelijke plaats van de schildpad heeft bereikt, is de schildpad hem intussen een afstand ½x vooruitgesneld. Arriveert Achilles daar ter plekke, dan is de schildpad weer ¼x verder.

Op deze wijze blijft de schildpad Achilles tot in het oneindige steeds de helft van de vorige afstand voor en komt de atletische Griekse held de schildpad in deze redenering nooit voorbij. Aangezien dat in een werkelijke wedstrijd uiteraard wél gebeurt, maar de rede bij Parmenides en Zeno verre de voorkeur geniet boven de alledaagse werkelijkheid, wordt alle beweging en andere verandering als strijdig met de rede naar het rijk van de zinsbegoocheling verwezen.

Een andere grappige consequentie van Zeno’s redenering is dat hedendaagse oude mensen onsterfelijk zijn op voorwaarde dat nieuwgeborenen aan kinderziekten kunnen overlijden. Bij geboorte is de gemiddelde levensverwachting ongeveer tachtig jaar, maar loopt op tot 83 als men de zeventig heeft weten te passeren, wat betekent dat ieder jaar dat men langer leeft de levensverwachting ook blijft toenemen en de datum van overlijden tot in lengte van dagen opschuift, wat het probleem van de overbevolking dramatisch laat groeien.

Een mogelijke oplossing van deze paradoxen wordt gegeven door de veronderstelling dat de ruimte (of de tijd, of beide) is gekwantiseerd, wat betekent dat er een kleinste afstandje (of momentje) bestaat dat niet meer kan worden gehalveerd. Op dat punt (of op dat moment) komt Achilles de schildpad langszij, omdat de laatste niet meer een halve afstand vooruit kan bewegen en daardoor even op dezelfde plaats blijft vastgenageld. Hier strandt de halveringslogica van Zeno en kan Achilles aan het opbouwen van een voorsprong beginnen. Dit betekent nog niet dat de tijdruimte ook gekwantiseerd moet zijn, omdat Zeno’s paradox ook opgelost kan worden met de moderne limietrekening, waarbij van een continue tijdruimte wordt uitgegaan.

Aristoteles ging er in de vierde eeuw v.Chr. juist van uit dat de wereld is zoals die zich aan ons voordoet. Verandering, dus beweging, is geen schijn, maar werkelijkheid.

In zijn beschouwingen over beweging maakte Aristoteles onderscheid tussen beweging van bezielde en onbezielde − of levende en dode − voorwerpen, en tussen natuurlijke en gedwongen beweging. De kern van zijn denkbeelden is dat er voor alles wat beweegt ook een aanwijsbare oorzaak (motor) moet zijn, in of in contact met het bewegende voorwerp. Voor de natuurlijke beweging van vallende voorwerpen geldt dat materie, indien niet gehinderd, streeft naar de natuurlijke plaats van de zware dingen en dat is beneden. Evenzo streven vuur en rook naar de natuurlijke plaats van de lichte dingen en dat is boven. Voor de gedwongen beweging van het geduwde of geworpen voorwerp geldt dat er een man of een paard voor nodig is om dat te laten bewegen, dat de beweging duurt zolang het duwen of het werpen duurt, en dat de beweging uitsterft zo gauw het duwen ophoudt of het voorwerp de werpende hand verlaat. Het contact met de motor is dan immers verbroken. Anders dan bij Plato, die de planeten als goden zag, fungeren volgens Aristoteles immateriële substanties en een Eerste Beweger als motor voor de hemellichamen, waardoor ze eeuwig en onveranderlijk in beweging blijven. De beweging van aardse en hemelse voorwerpen werd door Aristoteles dus op verschillende manieren beschouwd.

Omdat Aristoteles als rechtgeaarde Griek niet van experimenteren hield, vertoont zijn fysica een typisch ‘op-het-eerste-gezicht’-karakter. Zo constateerde hij dat een vallend voorwerp sneller valt naarmate het zwaarder is, en in water langzamer valt dan in lucht. Daaruit leidde hij een evenredigheid af tussen de drijvende kracht van het voorwerp en de snelheid, en een omgekeerde evenredigheid tussen de valsnelheid en de dichtheid van het medium (in hedendaagse vorm K/d=const.v).^[40] Hieruit trok Aristoteles de conclusie dat een voorwerp in het luchtledige (met dichtheid nul) oneindig snel zou moeten vallen, waarmee de onmogelijkheid van een luchtledige ruimte (horror vacui) was bewezen. Pas duizend jaar later zou Johannes Philoponus op basis van zijn visuele waarnemingen Aristoteles’ beweringen in twijfel trekken, en nog eens duizend jaar later bewees Galilei met zijn kwantitatieve experimenten dat niet een constante snelheid kracht verlangt, maar een snelheidsverandering (K=const.a), en dat alle voorwerpen, loden kogels én zwanendonsjes, in het luchtledige even snel vallen en zeker niet oneindig snel. Aristoteles’ begrijpelijke misvattingen komen voort uit een onjuist idee over de luchtweerstand, en het niet kunnen, willen of mogen uitvoeren van experimenten.

Nadat er in de late Middeleeuwen een merkwaardig soort mengvorm van oude en nieuwe ideeën over beweging in zwang was − de impetustheorie − vond er tijdens de Renaissance een fundamentele verandering plaats van bezield naar mechanistisch wereldbeeld. Deze ommekeer blijkt overtuigend uit het werk van de astronoom Johannes Kepler, die bij zijn beschouwingen over de planeetbewegingen in hetzelfde artikel veertien jaar later het woord ziel door het woord kracht als drijvend principe van de beweging verving.^[41] Keplers tijdgenoot Galilei merkte op dat als bij een geduwd of geworpen voorwerp de kracht ophoudt te werken de beweging niet uitsterft, zoals Aristoteles dacht, maar dat het voorwerp in het ideale geval, dus bij afwezigheid van wrijving of luchtweerstand, onveranderlijk (eenparig rechtlijnig) verder blijft bewegen. De eenparig rechtlijnige beweging vertegen­woordigt blijkbaar een natuurlijke toestand met de status van relatieve rust. Verder ontdekte Galilei dat als er meerdere krachten op een voorwerp inwerken, de gevolgen van alle krachten afzonderlijk kunnen worden bekeken, omdat ze elkaar niet beïnvloeden. In natuurwetenschappelijke termen zijn krachten vectoren en geen tensoren.

Descartes bestudeerde een paar decennia later botsingen tussen twee voorwerpen en formuleerde, geholpen door Christiaan Huygens, op basis van zijn bevindingen de eerste natuurkundige behoudswet: hoe ingewikkeld het botsingsproces ook mag zijn, de totale hoeveelheid van beweging (impuls) voor en na de botsing moet in ieder geval hetzelfde blijven.

Newton bewerkstelligde op zijn beurt een ingrijpende verandering van visie op kracht en beweging. Hij constateerde tot zijn verrassing dat de bewegingen van hemellichamen en aardse voorwerpen aan dezelfde wetmatigheden onderhevig zijn en zette daarmee een belang­rijke stap op weg naar wat het streven naar unificatie in de natuurkunde zal worden. Om het schijnbare verschil tussen een uit een boom naar de grond vallende appel en een om de aarde bewegend hemellichaam als de maan te verklaren, kan een evenwijdig aan het aardoppervlak afgeschoten kanonskogel dienen. Wordt de kogel langzaam afgeschoten dan zal deze spoedig onder invloed van de zwaartekracht afbuigen naar het aardoppervlak en daarop neervallen. Heeft de kogel echter voldoende snelheid dan vliegt deze veel langer rechtdoor en zal het bolvormige aardoppervlak onder de kogel weg buigen. Deze valt dus wel omlaag, maar zal het oppervlak nooit dichter naderen en in een cirkelvormige baan om de aarde komen. Bij hogere snelheden verwijdert de rechtdoor gaande kogel zich steeds verder van het weg buigende aardoppervlak en verdwijnt, als het voldoende bewegingsenergie meekrijgt, voor eeuwig in de ruimte. Planetenbeweging en vrije val worden dus beide veroorzaakt door de kracht die massa’s op elkaar uitoefenen, de zwaartekracht, die op afstand in een lege ruimte werkt. De ene massa oefent een kracht uit op de andere, zonder dat beide massa’s contact met elkaar hoeven te maken. Hiermee brak Newton met het aristotelische motorbegrip, en met de scheiding tussen hemelse (bovenmaanse) en aardse (ondermaanse) mechanica.

Volgens Newton werkt er op een voorwerp dat in rust op een tafel ligt (of in een hand daarboven) geen netto kracht, omdat het tafel­blad (of de hand) een tegendruk levert die in grootte gelijk is aan de zwaartekracht maar tegengesteld gericht en deze dus op­heft. Wordt het voorwerp over de rand van het tafelblad geschoven (of uit de hand losgelaten), dan blijft alleen de zwaartekracht over en valt het voorwerp omlaag.

In de opvatting van Einstein daarentegen werkt er op een vrij vallend voorwerp juist géén kracht, maar gedraagt het voorwerp zich alsof het zich in de gekromde ruimte van een versneld systeem bevindt. Een voorwerp op tafel wordt door de druk van het tafelblad mee versneld (en een voorwerp boven de tafel door de spierkracht van de hand). Hoewel het voorwerp stil ligt ten opzichte van zijn omgeving, werkt daar dus juist wél een netto kracht, aldus een interpretatie van Einsteins relativiteitstheorie. Wordt het voorwerp boven de tafel losgelaten dan houdt de spierkracht op te werken en versnelt het tafelblad naar het voorwerp toe, wat in gelijke mate geldt voor alle voorwerpen ‒ voor loden kogels én zwanendonsjes ‒, wat verklaart waarom die in het luchtledige allemaal even snel vallen. In het elfde hoofdstuk wordt nader ingegaan op Einsteins relativiteitstheorieën en de merkwaardige consequenties ervan.

Net als bij de opvattingen over ruimte en tijd valt ook aan het eind van deze lange opsomming op dat de visie van Einstein op kracht en beweging in een aantal opzichten dichter bij de ideeën van Aristoteles ligt dan bij die van Newton. Immers, in tegenstelling tot Newton vindt zowel Aristoteles als Einstein dat massa’s alleen bij direct contact een kracht op elkaar kunnen uitoefenen. De beweging van een voorwerp wordt niet bepaald door wisselwerking met andere voorwerpen over een zekere afstand door de lege ruimte, maar door eigenschappen van, of ter plaatse van, het voorwerp zelf. De overeenkomsten tussen beider ideeën aangaande de ruimte − in zichzelf besloten en niet leeg denkbaar − zijn al eerder genoemd. De Amerikaanse wetenschapsfilosoof Thomas Kuhn schreef daarover dat Einstein erin geslaagd is de mysterieuze aantrekking door gravitatie meetkundig te verklaren en daarmee de wetenschap in dit speciale opzicht heeft teruggeleid naar normen en problemen die meer lijken op die van Newtons voorlopers dan van zijn opvolgers. De ruimte is in de hedendaagse fysica niet dat inerte en homogene substraat dat zowel in Newtons als in Maxwells theorie gehanteerd wordt, maar enige van haar nieuwe eigenschappen lijken enigszins op die welke vroeger aan de ether werden toegekend.^[42]

Vanuit dit perspectief is Newtons zwaartekracht, die zonder medium over afstand werkt en door hemzelf werd omschreven als ‘de meest ijle geest die alle materiële lichamen doordringt en erin verborgen ligt’,^[43] hoe succesvol als fysisch concept ook, op te vatten als een tijdelijke en duistere dwaalweg, wat een aantal van zijn vooraanstaande tijdgenoten, Huygens en Leibniz, ook al vond.^[44] De vraag die hier vanzelf uit voortkomt is of ook de relativistische theorieën van Einstein, ondanks de goede kwantitatieve beschrijving van de verschijnselen, ons ook op een duistere dwaalweg hebben geleid, vanwege de onvoorstelbare concepten die daaraan ten grondslag liggen.

Voor de volledigheid moet hier nog vermeld worden dat de oude Grieken ook op andere wetenschappelijke gebieden dan de hiervoor genoemde opzienbarend dicht bij de moderne tijd kwamen. Anaximander had een theorie over het leven die hem tot een wel zeer vroege voorloper van Charles Darwin bestempelt,^[45] en ook Aristoteles dwong de bewondering van Darwin af, wat blijkt uit een brief van de laatste aan zijn vriend William Ogle:

Door aanhalingen die ik heb gezien had ik al een hoge dunk van Aristoteles’ verdiensten, maar ik had er niet het flauwste idee van wat een fantastische man hij was. Linnaeus en Cuvier zijn mijn twee goden geweest, hoewel op totaal verschillende manier, maar vergeleken met de oude Aristoteles zijn het niet meer dan schooljongens.^[46]

De conclusies die Xenophanes verbond aan de her en der gevonden fossielen van schelpen en vissen maken hem tot de vroegste geoloog en antropoloog uit de geschiedenis;^[47] wat de zeevaart betreft kan het volgens sommigen niet worden uitgesloten dat de Griekse schepen rond Kaap de Goede Hoop zijn gevaren.^[48] Dat het hier, ondanks de indrukwekkende prestaties, toch niet gaat om moderne wetenschap blijkt bijvoorbeeld uit Herodotus’ weliswaar correcte verklaring van een bepaalde geologische landschapsstructuur uit aardbevingen, maar daarbij de woedende Poseidon aanwijst als degene die de aarde deed schudden.^[49] Een dergelijke vermenging is ook expliciet aan te treffen bij Aristoteles als hij in zijn inventaris van hem bekende dieren de eenhoorn opneemt, en Plato’s koppeling van de dodecaëdrische ruimte aan de dierenriem is al eerder genoemd. George Sarton schreef zelfs dat antieke fysica en astronomie dicht bij metafysica liggen, zó dicht dat niet meer is uit te maken waarmee men bezig was: ‘Is dit astronomie of metafysica of theologie?’^[50]

De conclusie die er getrokken kan worden na het passeren van deze bonte stoet van voorstellingen die de mens zich door de geschiedenis heen van ruimte, tijd, kracht en beweging heeft gemaakt is dat er in iedere periode, cultuur en school op eigen wijze over de fysische werkelijkheid is gedacht. De steeds veranderende voorstellingen bestrijken zowat het hele denkbare – en vaak ook ondenkbare − gamma: of het nu gaat over een rustende of bewegende aarde, krachten die al dan niet over af­stand werken, ruimte die al dan niet in zichzelf besloten is en al dan niet een homogene structuur heeft, tijd die al dan niet regelmatig verloopt, ruimte en tijd die al dan niet strikt gescheiden zijn, materie die al dan niet uit elementaire deeltjes is opgebouwd, steeds blijkt diezelfde fysische werkelijkheid weer anders voorgesteld te kunnen worden. Einstein zei zelf over zijn relativiteitstheorie dat die een andere zou moeten voortbrengen, omdat er aan het verdiepen van een theorie nooit een einde komt.^[51] Het zou daarom alleen maar van verwaande naïveteit getuigen als we de huidige denkbeelden net zo voor de uiteindelijk juiste zouden houden, als Kepler en Descartes dat met de hunne deden. Bij Kepler stroomden de tranen over zijn wangen toen hij meende te beseffen dat hij door God was uitverkoren om de uiteindelijke waarheid over de structuur van Zijn schepping te doorgronden. En Descartes schreef over zijn eigen visie als ware volgeling van Parmenides en Zeno dat de bewijzen daarvoor zó zeker zijn dat, al zou de ervaring ons schijnbaar het tegendeel laten zien, we verplicht zouden blijven meer geloof aan onze rede dan aan onze zintuigen te schenken.^[52] Michel de Montaigne geeft in zijn Essays blijk over wat meer relativeringsvermogen te beschikken. Hij kende zowel het geocentrische wereldbeeld van Ptolemaeus als het heliocentrische van Copernicus, legde ze naast elkaar en concludeerde toen dat we ons over de vraag welke van de twee de juiste is geen zorgen hoeven te maken: ‘Want zeker is dat over duizend jaar een nieuwe opvatting ze allebei omvergeworpen zal hebben.’ Dat het ruim driehonderd jaar later al zo ver was zou hem waarschijnlijk ook niet verbaasd hebben.

Pas tweehonderdvijftig jaar na Descartes stelde Nietzsche in Voorbij goed en kwaad dat het eindelijk tot een paar denkende geesten begon door te dringen ‘dat ook de natuurkunde niet meer dan een interpretatie van de wereld geeft – die ons goed uitkomt, als ik het zo mag zeggen! − en geen verklaring van de wereld.’^[53] Daarbij moet wel in aanmerking worden genomen wat Nietzsche zich bij een interpretatie van de wereld voorstelde:

Van een beeld van de wereld zeggen dat het een interpretatie is, wil nog niet zeggen dat het fout is. Het betekent eerder dat een beeld, als alle beelden, voortkomt uit bepaalde belangen, gericht is op bepaalde doelen, en dat het een bepaalde soort mensen van pas komt. En hoewel dit de kwestie van waarheid niet irrelevant maakt, betreft de uiteindelijke vraag met betrekking tot een interpretatie welke belangen ermee worden gediend. Welk soort mensen schiet ermee op? Wie heeft er voordeel bij?^[54]

En inderdaad is het goed te verdedigen dat het geocentrische wereldbeeld alleen zolang heeft kunnen standhouden vanwege de belangen van de kerk, en het heliocentrisme, als wezenlijk aspect van het mechanistische wereldbeeld, door de belangen die handel en industrie daarbij hebben.

Tenslotte kan hier nogmaals Hans Vaihingers neokantiaanse filosofie van het alsof worden aangehaald, waarin hij stelt dat ieder voorstelling of beschrijving slechts een benadering van de op zich onkenbare werkelijkheid kan zijn en zijn geldigheid alleen ontleent aan de voorlopige dienst die ons ermee bewezen wordt.

De wiskundige beschrijving

Zoals gezegd bestaat een moderne wetenschappelijke theorie over het algemeen naast een voorstelling ook uit een in wiskundige termen gestelde beschrijving. Bij de kinetische gastheorie, bijvoorbeeld, hoort de voorstelling dat er in een met een beweegbare zuiger afgesloten, met gas gevulde ruimte, een groot aantal zeer kleine deeltjes (n) willekeurig door elkaar beweegt.

In de wiskundige beschrijving worden de micro-eigenschappen van die deeltjes − massa, snelheid en grootte − in verband gebracht met de direct meetbare, macroscopische grootheden van het systeem, zoals temperatuur (T), druk (P) en volume (V). Voor de liefhebbers: PV=nRT, met R als evenredigheidsfactor.

Nu is de relatie tussen de wiskundige beschrijving en de fysische wereld buiten ons al eeuwenlang aanleiding tot veel kwellend denkwerk en heftige discussies: wat is toch de status van die verzameling op zich betekenisloze symbolen en hun puur formele betrekkingen, die ondanks de hoge mate van abstractie zo’n adequate beschrijving schijnen te geven van de structuren die ten grondslag liggen aan de concrete fysische wereld? Is de wereld buiten ons in essentie dan wiskundig of geeft de wiskunde ons slechts een instrument waarmee wij ordening aanbrengen in een van zichzelf chaotische in essentie onkenbare omgeving? Of zijn we misschien zelf, dat wil zeggen onze hersenen, of liever nog onze geest, het wiskundige instrument en kunnen we daarom niet anders dan de wiskunde als een a priori gegeven aanvaarden, zoals Kant dacht dat het geval was?^[55] Met andere woorden: is de ijzeren regelmaat waarmee de fysische gebeurtenissen zich afspelen in ruimte en tijd voor ons een even onontkoombaar gegeven vooraf als ruimte en tijd dat zelf zijn? En als de menselijke geest niet wiskundig is, wat is dan de relatie tussen de wiskundige buitenwereld en de geest die zelf aan die buitenwereld geen deel heeft? Of moeten we ook nu weer concluderen dat het menselijke bewustzijn uit twee aspecten bestaat: een wiskundig en een niet-wiskundig deel die twee verschillende kenwijzen van de wereld representeren, zoals Wittgenstein graag dacht? Zelf schreef hij over zijn fascinatie voor de wiskunde: ‘Het grote probleem waar alles wat ik schrijf om draait is: is er a priori een ordening in de wereld, en zo ja, waaruit bestaat deze?’^[56]

Een definitief antwoord op deze vragen is nog niet echt in zicht en als de wetenschapshistoricus Salomon Bochner constateert dat het filosofische probleem van de relatie tussen wiskunde en natuurkunde niet voldoende aandacht krijgt, dan komt dat volgens hem mede doordat het een zeer moeilijk probleem is, maar zeker ook door het feit dat de hedendaagse natuurfilosofie zich nog steeds niet serieus bekommert om de vraag wat er de reden voor is dat de fysische wereld kan worden uitgedrukt in de symboliek van de wiskunde.^[57] Overigens vermag deze voortdurende onduidelijkheid in de status van de wiskunde met betrekking tot de fysische wereld het enthousiasme van sommigen voor de wiskunde niet te temperen. Zo constateert Eduard Dijksterhuis in zijn beroemde boek De mechanisering van het wereldbeeld dat er, als logisch gevolg van de in de Renaissance ingezette mechanisering, evenzeer sprake is van een mathematisering van het wereldbeeld.^[58] Daarom bestaat de bekroning van natuuronderzoek uit het opbouwen van een mathematisch begrippenstelsel waarin het onderzochte gebied van natuurverschijnselen een geïdealiseerde afbeelding verkrijgt die misschien wel het hoogste inzicht in de natuur vertegenwoordigt dat aan de menselijke geest gegund is.^[59] Gezien zijn woordkeus behoort Dijksterhuis zeker tot de bewonderaars van Plato, welke laatste de wiskunde ook al vond thuishoren in de goddelijke wereld van de volmaakte ideeën. Om deze redenen is een beknopt historisch overzicht van een paar belangrijke opvattingen over de wiskundige afbeelding van de fysische wereld, vergelijkbaar met dat van de voorstellingen, hier zeker op zijn plaats.

De oudste aanwijzing voor menselijke belangstelling voor getallen, en dus voor wiskunde, dateert van ongeveer vijfendertigduizend jaar geleden en bestaat uit een als kerfstok gebruikt kuitbeen van een baviaan met negenentwintig duidelijk zichtbare inkepingen, opgegraven in Swaziland.^[60]

Een vergelijkbaar artefact – een hertengewei met daarin een paar rijen gekerfde streepjes – is gevonden bij La Marche in Frankrijk. Wat de bezitter daarmee wilde aangeven, mogelijk omdat hij daaraan zijn status ontleende – stuks vee, verslagen vijanden, kinderen of concubines – is uiteraard een raadsel. Dat deze ‘streepjescodes’ ook sterk doen denken aan de later ontwikkelde eenvoudige vorm van spijkerschrift, voedt bij sommige onderzoekers het vermoeden dat behalve het tellen ook het taalschrift hierin zijn oorsprong vindt, zodat woorden dus eigenlijk zijn begonnen als getallen, of omgekeerd.^[61]

Het veel recentere begin van het reeds ver ontwikkelde Griekse wiskundige denken wordt gemarkeerd door een typische breuk met de oosterse traditie die eraan vooraf ging, en waarin men zich voornamelijk bezighield met rekenvoorschriften en recepten. In zijn Geschiedenis van de wiskunde zegt Dirk Jan Struik hierover dat ‘in de geestelijke atmosfeer van het Ionische rationalisme een nieuw soort wiskunde geboren werd’, een wiskunde die niet alleen de oosterse vraag ‘hoe’, maar ook de hogere wetenschappelijke vraag ‘waarom’ stelde, wat het ontstaan van de moderne wiskunde kan worden genoemd. De aartsvader van deze nieuwe Griekse wiskunde is volgens de overlevering Thales van Milete, de al eerder genoemde koopman uit de eerste helft van de zesde eeuw v.Chr., die op zijn verre handelsreizen naar Babylon en Egypte veel kennis en wijsheid had verzameld. Deze vroege Griekse studie van de wiskunde had als voornaamste doel de plaats van de mens in het heelal op redelijke wijze te begrijpen door orde in de chaos te scheppen en zo het vinden van grondbeginselen te vergemakkelijken.^[62]

In de ordening die Pythagoras en zijn volgelingen zich voorstelden staan de in getallen uit te drukken relaties tussen natuurverschijnselen centraal. Aristoteles vatte dit later kernachtig samen als: ‘de dingen zijn getallen’ en ‘voor de Pythagoreeërs werd de wiskunde tot filosofie’. Pythagoras zelf placht om zijn ideeën te verduidelijken zijn leerlingen een steen voor te houden en noemde die dan ‘bevroren muziek’.^[63] Dat eenvoudige getalsverhoudingen de grondslag vormen voor de kosmische harmonie volgt uit de muzikale consonanten, voortgebracht door snaren van gelijke dikte en spanning, waarvan de lengten zich eenvoudig verhouden als 1:2, 2:3, 3:4 enzovoort. Zo brengen de planeten door hun bewegingen en de verhouding van hun baanstralen een muzikale symfonie voort, die overigens alleen maar hoorbaar is voor mensen met een ziel die daarvoor volmaakt genoeg is (zie hoofdstuk VI). Voor hun onderzoek op het gebied van de muzikale harmonieën gebruikten de pythagoreeërs waarschijnlijk als eersten een bewust voor wetenschappelijke doeleinden geconstrueerd instrument, het monochord, een boven een houten klankbodem bevestigde snaar van gedraaide schapendarm, die door gewichten gespannen kan worden en zo aangestreken of betokkeld klanken van verschillende toonhoogten kan voortbrengen.^[65]

De vier studievakken die in het latere (middeleeuwse) quadrivium werden onderwezen: rekenkunde, meetkunde, astronomie en muziek, zijn door het monochord innig met elkaar verbonden. Als tellen en taal middels de kerven in een apenbot en een hertengewei met elkaar verbonden zijn, en volgens een bestaande hypothese ook taal en muziek dezelfde oorsprong kunnen hebben, dan ligt daarin mogelijk de verklaring voor de op het eerste gezicht toch wat merkwaardige verbond die het wiskundige tellen en de muziek in de opvatting van de pythagoreeërs met elkaar zijn aangegaan. Niet iedereen was even overtuigd van deze muzikale grond van het universum. Als spottend antwoord op het pythagoreïsche streven placht Aristoteles zijn hand achter zijn oorschelp te plaatsen met de mededeling dat het hem maar niet lukte iets op te vangen, hoezeer hij zich ook inspande: ‘De reden waarom wij het niet horen, en in onze lichamen geen gevolgen van een geweldige kracht ervaren, is dus eenvoudig: zo’n geluid is er niet.’^[64]

Ook in Plato’s opvatting dat de werkelijkheid een onvolkomen materiële nabootsing is van een buiten ruimte en tijd bestaande ideale vormenwereld die slechts door het zuiverste denken valt te benaderen, is de wiskundige essentie makkelijk te herkennen, net als in zijn idee van de regelmatige veelvlakken die aan de basis liggen van de elementenleer: ‘Wie geen kennis van wiskunde bezit, wordt hier niet toegelaten’, heeft er immers – zij het volgens een dubieuze bron − boven de ingang van zijn Academie gestaan. Plato’s leerling Aristoteles moest niets hebben van een ideale, metafysische vormenwereld en zag de wiskunde meer als een hulpmiddel om structuur aan te brengen in de fysische werkelijkheid, maar kreeg daardoor direct te maken met de vraag wat dan toch de relatie tussen de wiskunde en de fysische wereld zou moeten zijn. Hij schreef dat we verder moeten onderzoeken waarin de wiskunde zich van de natuurkunde onderscheidt:

Want natuurlijke lichamen hebben vlakken en inhoud, lijnen en punten, en dit zijn de onderwerpen van de wiskunde. En verschilt de astronomie van de fysica, of is het er een onderdeel van? Het lijkt absurd wanneer de fysicus verondersteld zou worden zich met de essentie van de zon en de maan bezig te houden, maar niet met hun essentiële attributen, temeer daar de bestaande auteurs op het gebied van de fysica ook duidelijk de vorm van deze hemellichamen bespreken, en bespreken of de aarde rond is of niet. De wiskundige, die zich ook met deze vlakken en lijnen bezighoudt, behandelt ze niet als de grenzen van een natuurlijk lichaam, en hij beschouwt de genoemde attributen niet als de attributen van zulke lichamen. Daarom behandelt hij ze of ze apart bestaan. Dit zien we ook bij de meer fysische takken van de wiskunde, zoals de optica, de harmonieleer en de astronomie. Deze gaan in zekere zin te werk op een manier die tegengesteld is aan wat we zien in de meetkunde. Terwijl de meetkunde natuurlijke lijnen bestudeert, maar niet als natuurlijk, bestudeert de optica meetkundige lijnen, maar dan als in de natuur aanwezig, niet als meetkundig.^[66]

Hoewel de Griekse wiskunde, dankzij de bijdragen van onder meer kopstukken als Euclides en Archimedes, tot grote bloei kwam, bleef die tot de getallenleer en de meetkunde beperkt. Het ontbreken van een compacte algebraïsche notatiewijze, en het tot het uiterste doorgevoerde streven naar zuiverheid en harmonie, waardoor de verbale beschrijving van de werkelijkheid bijzonder wijdlopig, breedsprakig en ingewikkeld werd en er niettemin een merkbare discrepantie tussen werkelijkheid en beschrijving bleef bestaan, waren mede aanleiding tot het uiteindelijke verval van de Griekse wiskunde. Pas in de derde eeuw n.Chr. was het de Alexandrijnse wiskundige Diophantus die als eerste een symbool gebruikte om een onbekende grootheid in een vergelijking aan te duiden, in tegenwoordige schoolboeken veelal x, y of z. Een andere belangrijke reden voor de ondergang was de zo diepe afkeer die de vroege christenen koesterden voor het Griekse denken in het algemeen en de wiskunde in het bijzonder, dat ze daar met grof geweld uitdrukking aan meenden te moeten geven, met als belangrijkste voorbeeld de al eerder in dit hoofdstuk beschreven moord op Hypathia, die nog commentaren op het werk van Diophantus had geschreven. Toen de Romeinse keizer Justinianus in 529 de opdracht had gegeven alle Griekse, dus heidense filosofische scholen te sluiten, was het met de westerse wiskunde voorlopig gedaan en vluchtten de geleerden naar Constantinopel en verder door nog naar Bagdad..

In de Middeleeuwen ging het in het Westen dus slecht met de wiskunde, deels door de overheersende positie van het (kwalitatieve) aristotelische wereldbeeld gedurende een lange periode, maar voornamelijk door het grote belang dat er aan het zielenheil werd gehecht, waardoor de wiskundige geest net zo stiefkinderlijk werd behandeld als Plato dat met de poëtische ziel meende te moeten doen. Hóe slecht blijkt uit een bewaard gebleven briefwisseling tussen leiders van scholen uit het begin van de elfde eeuw, waarin de schrijvers hun onoverkomelijke moeilijkheden met de eenvoudigste problemen uit de euclidische meetkunde bespreken. Zo vragen ze zich in alle ernst af of een buitenhoek van een driehoek nu buiten het vlak van de driehoek ligt of juist erin.^[67]

Na de val van Constantinopel in 1453 keerde de wiskunde uit het Oosten naar Europa terug. Weliswaar uitgebreid met de algebraïsche beginselen, maar de eigenlijke algebra, in de zin van wiskundige bewerkingen die worden uitgevoerd met abstracte symbolen waarvan men niet meer hoeft te weten wat ze feitelijk voorstellen, werd pas, als nieuwe bezigheid naast het alchemistische experimenteren, vanaf Descartes definitief gegrondvest. Descartes ging ervan uit dat de natuurwetenschap mathematisch van aard is, omdat zowel de kennis van de natuur als de wiskunde een bezigheid van de menselijke geest is, maar empirisch onderzoek is en blijft nodig om uit te maken welk wiskundig stelsel zich het best leent om de werkelijkheid te beschrijven. Daarbij blijft onverkort gelden dat de verklaringsprincipes van de fysische verschijnselen door middel van mechanische modellen aanschouwelijk gemaakt moeten kunnen worden. Vanwege het mechanistische wereldbeeld is de Schepper behalve wiskundige ook klokkenmaker en ingenieur.^[68]

Newton daarentegen vond het, evenals zijn voorganger en Descartes’ tijdgenoot Galilei,^[69] in eerste instantie voldoende als de wiskundige beschrijvingswijze overeenstemt met de gebeurtenissen in de werkelijkheid, zonder dat er ter verklaring een aanschouwelijk model voorhanden hoeft te zijn.^[70] Niet dat zo’n model er uiteindelijk niet moet komen, maar het vinden daarvan wordt door een goed wiskundig systeem aanmerkelijk vergemakkelijkt, dacht Newton, hoewel zijn pogingen om de zwaartekracht aanschouwelijk te maken met als enige door Descartes toegestane botsingsprocessen tussen deeltjes vruchteloos bleven.^[71] Hiermee profileerde Newton zich, naast afronder van het mechanistische wereldbeeld, ook en vooral als grondlegger van het mathematische wereldbeeld, zij het min of meer tegen zijn zin en door de nood gedreven. Dat Newton naast zijn mechanistische en mathematische werk ook dertig jaar van zijn leven in de lijn van de middeleeuwse traditie aan de alchemie besteedde, doet in de onderhavige context net zo min ter zake als bijvoorbeeld het gegeven dat het astrologische werk van Kepler een veelvoud van zijn astronomische werk bedraagt (zie hoofdstuk V).

Het dilemma van Galilei, Descartes en Newton ‒ hoe aanschouwelijk moet een wiskundige beschrijving van natuurkundige verschijnselen zijn ‒ blijft in de loop van de geschiedenis een overheersende rol spelen. In de achttiende eeuw verzetten onder anderen Denis Diderot en ook Benjamin Franklin zich tegen het overdadige gebruik van wiskunde in de natuurkunde, met het argument dat het de onderzoekers zou verwijderen van de natuur in een misplaatst vertrouwen in abstracte vormen. Aan de andere kant waren het Marquis de Condorcet en Jean-Baptiste le Rond d’Alembert die beweerden dat alleen de wiskundigen van de Franse Academie van Wetenschappen zinvol werk deden, en dat de anderen zich bezighielden met waardeloze physicailles, dat wil zeggen experimentele goocheltrucjes die nergens toe leiden.^[72]

In de negentiende eeuw werd de discussie voortgezet door onder anderen Gustav Kirchhoff, die in zijn toespraak Over het doel van de natuurwetenschappen in 1865 stelde dat het uiteindelijke streven van de wetenschap is ‘ieder verschijnsel terug te brengen tot beweging, die vervolgens door de theoretische mechanica beschreven wordt’. De Duitse scheikundige, arts, natuurkundige en fysioloog Hermann Helmholtz had een vergelijkbare mening en verkondigde dat ‘de verschijnselen van de natuur dienen te worden teruggevoerd tot de beweging van materiële deeltjes met onveranderlijke bewegingskrachten, die uitsluitend van de omstandigheden van de ruimte afhangen’.^[73] Ook vooraanstaande natuurkundigen als Heinrich Hertz, Lord Kelvin en James Clerk Maxwell worstelden met hetzelfde probleem: hoewel het de laatste lukte het gedrag van elektromagnetische straling adequaat te beschrijven met behulp van een stel uiterst abstracte differentiaalvergelijkingen, was een voorstelbaar fysisch model toch zijn hoogste ideaal. Als een fysisch verschijnsel volledig beschreven kan worden als een verandering in configuratie en beweging van een materieel systeem, stelde Maxwell, dan is de dynamische verklaring van dat verschijnsel volledig en kunnen we ons geen verdere verklaring als noodzakelijk, wenselijk of mogelijk voorstellen.^[74]

Ondertussen ontwikkelde de zeventiende- en achttiende-eeuwse wiskunde zich voorspoedig in de vaardige hoofden van Pierre de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz, Jakob en Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph Lagrange, Adrien Legendre, Gaspard Monge, Lazare Carnot, Pierre Simon de Laplace en Carl Friedrich Gauss, om alleen maar de belangrijkste namen te noemen. Aanvankelijk werd de voortgang belemmerd doordat de wiskundigen de methoden die ze bedachten om problemen op te lossen voor zichzelf hielden om hun persoonlijke reputatie als enige bezitter van die kennis te beschermen, een situatie die al dateert uit de Oudheid. Van de vroege pythagoreeër Hippasus werd gezegd dat hij uit de school was verwijderd en mogelijk zelfs vermoord, omdat hij wiskundige geheimen (over het bestaan van irrationale getallen) aan de grote klok had gehangen.^[75] En in Het laatste raadsel van Fermat beschrijft Simon Singh een beroemd conflict dat ontstond toen Niccolò Tartaglia, die een snelle methode had gevonden om derdegraads vergelijkingen op te lossen, zijn vondst bij wijze van uitzondering aan zijn vriend Girolamo Cardano had verteld, uiteraard met het dringende verzoek tot strikte geheimhouding. Toen Cardano tien jaar later zijn belofte schond en Tartaglia’s methode openbaar maakte zou deze hem dat nooit vergeven. Hij verbrak alle banden met Cardano en er volgde een verbitterd openbaar dispuut, dat andere wiskundigen ertoe bewoog hun eigen geheimen des te strenger te bewaken.^[76]

Omdat naast dit formalisme ook de experimentele kennis van de alchemisten als geheim werd gezien, was er nauwelijks sprake van kennisoverdracht en kennisgroei, en kwam de wetenschap in de zestiende eeuw maar moeizaam van de grond. Met name Newton vond dat wiskundigen en alchemisten hun tijd verdeden door elkaar hun kennis niet door te geven en streefde zelf openbaarheid na, zodat hij kon zeggen: ‘Als ik verder heb gezien dan anderen dan komt dat doordat ik op de schouders van reuzen heb gestaan.’ Hoewel ook het verhaal gaat dat hij die uitspraak heeft gedaan in een tafelrede bij de Royal Society, en bedoeld was als een sneer in de richting van zijn nogal klein uitgevallen collega en tegenstrever Robert Hooke, van wie hij overigens wel een paar ideeën had ‘geleend’. Het beeld van dwergen op schouders van reuzen had Newton trouwens ook niet van zichzelf, want die is oorspronkelijk afkomstig van de vroeg twaalfde-eeuwse neoplatonist Bernard van Chartres, die ermee wilde aangeven dat hij veel van zijn kennis te danken had aan de Griekse Ouden.^[77]

Maar toen de overdracht van kennis eenmaal was geaccepteerd groeide de wiskunde ook zo voorspoedig dat sommigen − overigens zeer ten onrechte − vreesden dat de mogelijkheden snel uitgeput zouden raken, en schreef Lagrange metaforisch aan zijn mentor d’Alembert dat het terrein van de wiskunde vroeger of later verlaten zou moeten worden, tenzij er ‘nieuwe ertslagen’ zouden worden ontdekt.^[78]

De wiskunde maakte zich deels los van de natuurwetenschap, zodat naast de toegepaste wiskunde als apart specialisme de zuivere wiskunde ontstond: de wiskunde om de wiskunde, wat in zekere zin een terugkeer naar het platonisme betekende. Illustratief daarvoor is de uitspraak van Carl Jacobi over de ideeën van Joseph Fourier, welke laatste nog vond dat wiskunde tot openbaar nut toegepast moet kunnen worden. Een filosoof als hij, schreef Jacobi, had toch moeten weten dat het enige doel van de wetenschap de eer van de menselijke geest is, en dat vanuit dit standpunt een vraagstuk over getallen even waardevol is als een vraagstuk over de bouw van de wereld.^[79]

De terugkeer naar het platonisme was maar gedeeltelijk, omdat vele wiskundigen in die tijd: Lagrange, Laplace, Legendre, Monge, Carnot, in navolging van grote voorgangers als Archimedes en Galilei, de eer van de geest lieten voor wat ze is door zich te verbinden aan militaire scholen en academies. Robert Musil zou zich, toen hij nog eigenschappen wilde hebben, de vingers hebben afgelikt voor zo’n baantje: militair, ingenieur en wiskundige tegelijk.

Met de ontwikkeling van de zuivere wiskunde ging men in de negentiende eeuw onverdroten verder en bleken er wel degelijk steeds nieuwe ertslagen te kunnen worden aangeboord en blootgelegd. De Duitse wiskundige David Hilbert, en naast hem de Britten Bertrand Russell en Alfred North Whitehead, hebben zelfs geprobeerd een programma op te stellen om van alle deelgebieden één logisch consistente wiskunde te maken, maar in 1931 slaagde Kurt Gödel er juist in om te bewijzen dat zo’n consistente, dat wil zeggen tegenspraakvrije, wiskunde niet mogelijk is: van een verzameling axioma’s waarop een wiskundig systeem is gebaseerd kan nooit bewezen worden dat die zonder tegenspraken is, en als die zonder tegenspraken is zijn er altijd axioma’s die noch bewezen noch weerlegd kunnen worden, wat de doodsteek is geweest voor Hilberts programma. Een illustratie van Gödels tegelijk onbewijsbare en onweerlegbare stelling is de oorspronkelijk van Epimenides afkomstige uitspraak: ‘Ik zeg u, ik ben een leugenaar.’ Is zijn uitspraak waar dan verkondigt hij naar waarheid dat hij staat te liegen, wat een tegenspraak is, en is de uitspraak niet waar dan liegt hij de waarheid te spreken, wat ook een tegenspraak oplevert. Bij de behandeling van Douglas Hofstadters ‘vreemde lus’ in de hoofdstukken □ en I is voor hetzelfde doel Bertrand Russells dorpskapper al opgevoerd, die alle mannen scheert die zichzelf niet scheren. Nog een andere variant is de catalogus die alle boeken bevat die niet naar zichzelf verwijzen – zoals bij voorbeeld Miguel de Cervantes’ Don Quichot en Laurence Sternes Tristram Shandy wél doen (zie hoofdstuk V) – waardoor de paradoxale situatie ontstaat dat die catalogus, die zichzelf immers niet bevat, daarin ook moet worden opgenomen, maar daardoor juist zelfverwijzend wordt en er dan weer uit – en er weer in en er weer uit – moet en zo in een onbeslisbare toestand blijft hangen.

Maar de onbewijsbaarheid van consistentie houdt volgens vele wiskundigen nog niet in dat een wiskundig systeem ook inconsistent is. Simon Singh schrijft daarover dat vele wiskundigen in hun hart nog geloven dat hun wiskunde consistent is, maar dat ze het alleen niet kunnen bewijzen. De getallentheoreticus André Weil formuleerde zijn frustratie daarover als volgt: ‘God bestaat, want de wiskunde is consistent, en de duivel bestaat ook, want we kunnen het niet bewijzen.’^[80]

Wat de toepasbaarheid van de wiskunde betreft kreeg ‘de heer Fourier’ met het verstrijken van de twintigste eeuw alsnog gelijk. Toen de natuurkunde werd verrijkt met de kwantumtheorie en de relativiteitstheorieën, bleek een passend wiskundig instrumentarium voor het beschrijven van de wereld van het respectievelijk heel kleine en heel snelle reeds voorhanden, omdat het in voorgaande eeuwen was ontwikkeld als veronderstelde zuivere wiskunde. De Engelse getallentheoreticus Godfrey Hardy beweerde in 1940 weliswaar nog dat de mooiste wiskunde nutteloos is, en dat niemand nog enig oorlogsdoel heeft kunnen ontdekken dat wordt gediend door de getallentheorie,^[81] maar in de oorlogsjaren onmiddellijk daarna bleek de getallentheorie van Hardy onontbeerlijk voor het ontcijferen van vijandelijke codes.

Tegenwoordig bestaat er nauwelijks nog een tak van de wiskunde die niet ergens in natuurwetenschap of techniek kan worden toegepast. In een congresvoordracht in 1983 opperde de wiskundige Hendrik Lenstra – een van degenen die op Eschers Prentententoonstelling het ‘godvormige gat’ fractaal kon invullen − het traditionele onderscheid tussen zuivere en toegepaste wiskunde maar af te schaffen en voortaan alleen nog te spreken van ‘toegepaste wiskunde’ en ‘nog niet toegepaste wiskunde’. En in zijn inaugurele rede aan de Koninklijke Militaire Academie te Breda sprak zijn collega Jan van de Craats in 1985 − onder meer verwijzend naar de toepassing die de Griekse zuivere wiskunde van de kegelsneden vele eeuwen later vond in de berekening van planeet- en kogelbanen, en naar de negentiende-eeuwse differentiaalmeetkunde die de basis bleek te vormen voor Einsteins relativiteitstheorie − dat ook in het verleden al vaak is gebleken dat het voor toepassingen benodigde wiskundige instrumentarium lang tevoren als zuivere wiskunde was bedacht, maar dat de wijze waarop tegenwoordig steeds opnieuw onverwachte toepassingsgebieden van de wiskunde worden gevonden volstrekt zonder precedenten is in de geschiedenis van de wetenschap.

Aparte aandacht verdient het oneindig kleine en oneindig grote als fenomenen die de wiskundigen altijd hebben beziggehouden. Zo was Newton gefascineerd door oneindig kleine (of uiterste) snelheden en wist niet wat hij zich daarbij moest voorstellen. In zijn Principia schreef hij dat als een voorwerp nog een bepaalde, zij het zeer kleine snelheid heeft, dat niet de uiterste snelheid is omdat het altijd nog kleiner kan, en dat een stilstaand voorwerp helemaal geen snelheid meer heeft, wat dus ook de uiterste snelheid niet kan zijn.^[82] Toch heeft dit dilemma Newton er niet van weerhouden om, naast Leibniz, de schepper van een van de belangrijkste takken van de wiskunde, de infinitisimaalrekening of de wiskunde van de oneindig kleine veranderingen, te zijn. Aan de andere kant van het spectrum was het Georg Cantor die aan het eind van de negentiende eeuw licht bracht in de duisternis van het oneindig grote, zoals oneindig lange getallenreeksen, en in dat licht werden de vreemdste, dus tegen-intuïtieve, dingen duidelijk. Om een voorbeeld te geven: Cantor kon bewijzen dat de getallenreeks van 1 tot oneindig precies evenveel elementen bevat als de reeks die alleen de even getallen bevat, omdat immers elk getal uit de volledige reeks altijd met twee kan worden vermenigvuldigd, wat een even getal oplevert. Maar dan moet die reeks wel echt tot oneindig doorlopen, want wordt deze afgebroken bij welk hoog getal dan ook, dan bevat de reeks met alleen de even getallen uiteraard precies de helft van de getallen uit de volledige reeks.^[83]

De moderne fysica is dermate gemathematiseerd dat er zelfs voor hetzelfde toepassingsgebied meerdere wiskundige formalismen beschikbaar kunnen zijn: de aantrekking tussen materiële voorwerpen kan beschreven worden met zowel Newtons theorie van de zwaartekracht als Einsteins theorie van de gekromde ruimte, en kwantummechanische problemen kunnen worden geformuleerd in termen van zowel de matrixmechanica van Werner Heisenberg als de golfmechanica van Erwin Schrödinger, van wie de laatste heeft aangetoond dat beide formalismes wiskundig in essentie equivalent zijn.

Voorstellingen zijn nu niet alleen onnodig, maar als gevolg van de verregaande mathematisering, ook geheel onmogelijk. In de opvatting van Newton valt de fysische tijdruimte, waarin zich de ‘werkelijke’ gebeurtenissen afspelen, nog samen met de mathematische (3+1)-dimensionale tijdruimte waarmee diezelfde gebeurtenissen worden beschreven. Tegenwoordig ligt dit echter beduidend anders. Als uitbreiding van de alledaagse driedimensionale ruimte van het gewone menselijke bewustzijn, is het concept ingevoerd van een zuiver wiskundige ruimte die veeldimensionaal is zonder enige beperking aan de dimensie, en die kan dienen als grondslag voor de beschrijving van vele verschijnselen in welke natuurwetenschap dan ook. Zo’n ruimte heet de ‘gegenera­liseerde coördinaatruimte’, ‘vectorruimte’ of ‘faseruimte’, en heeft net zoveel wiskundige dimensies als er ‘vrijheidsgraden’ nodig zijn voor de beschrijving van een gegeven fysisch systeem.^[84]

Maar niet alleen in alle natuurwetenschappen, ook daarbuiten heeft de mathematische ruimte furore gemaakt, bijvoorbeeld door Ludwig Wittgenstein, die in zijn Tractatus logico philosophicus de door Ludwig Boltzmann ontwikkelde faseruimte probeerde toe te passen op het hele wereldbeeld: ‘De feiten in de logische ruimte zijn de wereld.’^[85]

Stelt de veeldimensionale ruimte, of n-dimensionale ruimte voor gehele waarden van n groter dan drie ons voorstellingsvermogen al zwaar op de proef, wat dan te denken van de door Benoît Mandelbrot ontwikkelde wiskunde van de fractalen, de alleszins fraaie patronen die zich op steeds kleinere schaal herhalen, waarbij n ook gebroken waarden kan aannemen: wat moeten we ons in hemelsnaam voorstel­len bij een halve dimensie, een halve richting in de ruimte? En wat bij een complexe dimensie, waarvan het imaginaire deel van het getal als rekentrucje in de wiskunde zijn waarde weliswaar heeft bewezen, maar als de wortel uit een negatief getal in de concrete fysische wereld niet bestaat?

Om het onvoorstelbare karakter van de wiskundige ruimte te illustreren kan de in de twintigste eeuw ontwikkelde supersnaartheorie dienen. Het moet de ‘theorie van alles’ worden, die de lang gezochte brug zou moeten slaan tussen de kwantummechanica en de relativiteitstheorie. Die belofte lijkt niet te worden ingelost, maar vooruitgang heeft de supersnaartheorie zeker wel gebracht en zij wordt door de aanhangers zelfs even revolutionair genoemd met betrekking tot Einsteins ideeën, als Einsteins ideeën ten aanzien van die van Newton.^[86]

Supersnaren heten zo omdat ze de wiskundige vorm van ideale snaren hebben, dat wil zeggen dat ze alleen beschikken over lengte en niet over breedte of dikte, en alles kunnen wat snaren ook kunnen: trillen, draaien en buigen. Maar ze zijn zo ongelooflijk klein dat ze zich qua afmeting net zo verhouden tot elementaire deeltjes als elementaire deeltjes tot ons. Toch kunnen met de theorie van de supersnaren niet alleen elementaire deeltjes worden beschreven, maar ook hun onderlinge wisselwerkingen en de structuur van de tijdruimte waarin die processen zich allemaal afspelen. Daarvoor moeten wél de normaal gesproken vier tot onze beschikking staande tijdruimtedimensies tot heel wat meer worden uitgebreid. Tot hoevéél meer hangt volgens de fysicus Bent Sørensen af van welk model wordt gebruikt: 506 voor bosonsnaren zonder hulpkrachten: in de geheimtaal van de wiskundigen 26 voor bosonsnaren met hulpkrachten en tien of elf voor supersymmetrische boson- en fermionsnaren met hulpkrachten.^[87] Dat er zo veel dimensies nodig zijn kan gerijmd worden met de vier dimensies die wij uit ervaring kennen − drie ruimtelijke dimensies en de (imaginaire) tijd − door aan te nemen dat die als enige in die mate zijn ‘ontvouwd’ dat wij ze ook als zodanig waarnemen, en dat de overige dimensies zo strak zijn opgerold dat ze buiten ons ervaringsbereik vallen. Ter verduidelijking: een in principe driedimensionaal limonaderietje ziet er van enige afstand uit als een eendimensionale lijn, omdat het zo strak is opgerold dat we de twee andere dimensies niet meer als zodanig zien.

Hoewel het verband tussen supersnaren en de nu bekende elementaire deeltjes niet echt duidelijk is, stelt men zich voor dat de snaren in hun energetische grondtoestand weliswaar geen massa hebben, maar in aangeslagen toestanden − waarbij ze trillen met de frequentie van een van hun boventonen − over een extra hoeveelheid energie beschikken die volgens de beroemde formule van Einstein E=mc² ook in de massa tot uitdrukking moet komen en zo de materiële verschijningsvorm van elementaire deeltjes voortbrengt. Problematisch, en dus voor de beoefenaars minder interessant, werd de snaartheorie toen bleek dat er een stuk of vijf varianten mogelijk zijn die op wezenlijke punten van elkaar verschillen, maar de belangstelling hernieuwde toen het duidelijk werd dat er een diepere theorie moet bestaan die de vijf versies verenigt en waarin ook tweedimensionale vlakjes of supermembraantjes, en wiskundige figuurtjes met nog meer dimensies een rol spelen.

De hemelse symfonie

Maar als we de wereld kunnen beschouwen als opgebouwd uit ontelbare piepkleine trillende wiskundige snaartjes of membraantjes, zijn we weer terug bij de pythagoreeërs die vijfhonderd jaar voor Christus, met behulp van hun monochord, de schoonheid en de harmonie van het universum direct betrokken op de welluidendheid van muzikale consonanten, voortgebracht door bespeelde snaren die in eenvoudige verhoudingen zijn verdeeld. Wiskunde (meetkunde en getallenleer), astronomie en muziek – samen het quadrivium – waren verbonden tot een harmonieus geheel dat tot uitdrukking komt in de hemelse of kosmische symfonie, welk idee door de hele geschiedenis heen is blijven voortbestaan (zie hoofdstuk VI).

Terug bij het verhaal van het wiskundige formalisme moeten we vaststellen dat we met onze beperkte hersencapaciteit niet meer in staat zijn daar adequate voorstellingen bij te maken, wat het idee van Arthur Schopenhauer dat het universum geheel onze eigen schepping is op losse schroeven zet. Bij de beschrijving van een elementair deeltje als materiegolf kunnen we ons niets voor de geest halen dat het verschijnsel geheel dekt. En wat moeten we met de minstens tien dimensies die er nodig zijn om het gedrag van supersnaren als mogelijke bouwstenen van de wereld te beschrijven, terwijl we ons er, inclusief de tijd, maximaal vier kunnen voorstellen en daarom moeten aannemen dat de overige zes dimensies zo strak zijn opgerold (of dat de ruimte in die richtingen zo sterk is gekromd) dat we ze niet meer als ruimtelijke dimensie ervaren? Gedreven door wanhoop definieert de fysicus Jan Hilgevoord een elementair deeltje daarom maar als een deeltje dat voorkomt op de lijst van elementaire deeltjes in een goed boek over elementaire deeltjes. Hij voegt er nog wél aan toe dat de experimentele fysicus, voor wie het een spoor is in een nevelkamer, veel beter af is wat de eisen betreft die aan het voorstellingsvermogen worden gesteld, maar intussen dreigen de toch al schaarse verbindingen tussen het wiskundige en het natuurkundige wereldbeeld geheel te worden doorgezaagd. Zo geeft Sørensen zonder enige schroom te kennen dat de supersnaartheorie met experimenten maar moeilijk verder komt, omdat het waarnemen van een vrij bewegende supersnaar in het laboratorium pas mogelijk is bij een temperatuur die aan de Planck-energie beantwoordt: 1,4 x 10³² graden. Dat betekent nog vijftien maal een vertienvoudiging van de temperatuur die we tegenwoordig in versnellers kunnen bereiken en dat klinkt toch wel als een vrij hopeloze zaak.^[88]

De conclusie uit dit alles moet haast wel zijn dat naarmate de grenzen van het natuurwetenschappelijke onderzoek verder worden verlegd naar het kleinere of het fundamentelere, de concrete fysische wereld uit het zicht verdwijnt en steeds verder oplost in louter wiskundige abstracties. Terwijl moleculen en ook sommige ‘zware’ atomen nog wel met uiterst geavanceerde microscopen min of meer direct kunnen worden waargenomen en dus nog iets aanschouwelijks of ding-achtigs hebben, beschikken elementaire deeltjes al over een veel hoger wiskundegehalte, en zijn supersnaren of supermembranen in de energetische grondtoestand zuiver wiskundige voorwerpjes waaraan niets concreets meer te beleven valt. Het formalisme beschrijft niet meer een verschijnsel dat zich in de wereld bevindt, maar is de wereld zelf, een idee dat de pythagoreeërs, Plato en Albert Einstein – volgens de Franse fysicus en filosoof Bernard d’Espagnat − ook al hadden: ‘Het is een schitterend en uitdagend denkbeeld en ik neig ertoe te geloven dat het waar is.’^[89]

Yoichiro Nambu, de Japans-Amerikaanse schepper (of ontdekker) van de oorspronkelijke snaartheorie, noemt de omstandigheid dat fysici niet langer te hoop lopen bij apparaten en machines, maar bij met wiskundige vergelijkingen overdekte schoolborden en flip-overs ‘postmoderne natuurkunde’.^[90] En omdat deze ‘postmoderne’ fysische theorieën zich zo ver buiten bereik van experimentele bevestiging bevinden, wordt de juistheid of geldigheid ervan beargumenteerd met de schoonheid van de formele structuren, zoals eenvoud, logische consistentie en het ontbreken van ‘lelijke’ oneindigheden of singulariteiten. Voor zijn land- en vakgenoot Michio Kaku bevat de supersnaartheorie het begin en het eind van alle dingen: de schepping of Genesis bracht de supersnaren in de expanderende tijdruimte voort, die vervolgens evolueert tot het Nirvana in de vorm van de elf dimensionale superruimte, waarmee het boeddhisme en de judea-christelijke theologie in één filosofisch systeem zijn ondergebracht, hoeveel eenvoudiger wil je het hebben. Edward Witten, een andere autoriteit op het gebied van de supersnaren, verklaarde zijn geloof in de juistheid van die theorie uit ‘haar buitengewone elegantie en schoonheid’,^[91] terwijl Gerard ’t Hooft juist aan deze theorie heeft getwijfeld omdat hij haar niet mooi genoeg vindt.^[92] ­

De prominente wiskundige en Nobelprijswinnaar Roger Penrose, die zelf een aan de supersnaren verwante twistortheorie aan het ontwikkelen is, kent aan de wiskundige wereld zelfs een echt bestaan toe. Net als Plato gelooft Penrose dat wiskundige begrippen een diepe realiteit bezitten die de mentale constructies van een willekeurige beoefenaar van het vak ver te boven gaat. Het lijkt wel, zegt Penrose, of het menselijk denken geleid wordt naar een eeuwige en buiten ons om bestaande waarheid die zich slechts stukje bij beetje aan ons openbaart. Wiskundige objecten als de complexe getallen en de Mandelbrotverzameling zijn geen product van de menselijke geest, maar een ontdekking van iets wat net zo bestaat als de Mont Blanc.^[93]

Maar als de wiskunde echt bestaat, en als de materiële wereld buiten ons uiteindelijk in die wiskunde oplost, en als de wiskunde kan worden verbonden met de schoonheid die daarmee niet meer louter is voorbehouden aan muziek en poëzie, dan gaan wiskunde en kunst een merkwaardige verbintenis aan, een verbond tussen de wereld buiten ons, de wereld die we zien en met rationele, wiskundige middelen beschrijven, en de wereld waarvan we deel uitmaken, de wereld die we zijn en die we met intuïtieve, artistieke middelen beleven. En zoals de zuivere wiskunde, die in voorgaande eeuwen door het spelen met de logische regels en structuren is ontwikkeld, van toepassing bleek op het bizarre, toen nog onbekende kwantummechanische en relativistische deel van de wereld, zo zal de poëzie van de met taalregels en -structuren spelende Hans Faverey een wereld kunnen beschrijven, of een eigen intuïtief-logische ruimte op kunnen spannen, die nu nog buiten ons bereik ligt:

Als haas heeft de schildpad
niets te verliezen dan een vorm
van snelheid, waar een schildpad
zo om moet lachen, dat zelfs
zijn pijl hem inhaalt, na alvorens
doelloos te zijn neergestort.^[94]

Of zou het misschien toch zo zijn dat de uiterlijke, rationele schoonheid van de wiskunde onderscheiden moet worden van de innerlijke, ontroerende schoonheid van de kunst? Er is immers een wet opgesteld die de schoonheid van een wiskundig object zou vastleggen: M=O/C, waarin M een maat is voor de schoonheid, O voor de orde en C voor de complexiteit van het object, maar die zeker niet opgaat voor de kunst, omdat een grote mate van ordelijkheid en een lage graad van complexiteit in een kunstwerk bepaald niet garant staan voor een hoge mate van schoonheid.^[95] Illustratief in dit verband is het krantenartikel over de angst voor de wiskunde van de journalist Brigit Kooijman – (NRC 13/14 januari 2024) waarin zij schrijft dat er in het onderwijs minder nadruk op regeltjes zou moeten worden gelegd en meer aandacht geschonken aan de creatieve kant van de wiskunde: ‘Voor wiskunde als kunstvorm bijna. Die benadering helpt niet alleen tegen wiskundeangst, maar doet ook de wiskunde zelf meer recht. Wiskunde is meer dan sommen maken.’ Het betreft een eeuwenoud probleem, want ook in de antieke tijd werd de pythagoreïsche schoonheid van de kosmische orde al geplaatst tegenover de ethische schoonheid zoals die in Plato’s dialogen naar voren komt.

Zo zijn ook niet alle hedendaagse wis- en natuurkundigen even overtuigde platonisten als Penrose en ’t Hooft dat zijn. Bent Sørensen bijvoorbeeld waarschuwt voorafgaand aan zijn enthousiaste betoog over supersnaren als de ‘theorie van alles en niets’ uitdrukkelijk dat het ook mogelijk is dat het allemaal een kolossaal hersenspinsel zal blijken te zijn, een verzameling wiskundige trucs zonder enige tastbare realiteit, misschien wel nuttig om bepaalde berekeningen uit te kunnen voeren, maar zonder verbinding met de werkelijke materie en de realiteit om ons heen,^[96] net zoals we met in de werkelijkheid niet bestaanbare imaginaire getallen heel nuttige vierkantsvergelijkingen kunnen oplossen.­ Waarmee Sørensen in feite beweert dat het in sommige gevallen verstandig is om te doen alsof de wereld in wezen wiskundig is.

Tweeënhalf duizend jaar geleden al beweerde Plato dat ‘de godheid altijd wiskunde bedrijft’,^[97] en ook nu weer moeten we de mogelijkheid openhouden dat ‘de Grote Architect van het universum zich als een zuivere wiskundige aan ons voordoet’,^[98] omdat ons intussen de mogelijkheden ontbreken de wiskundige theorieën experimenteel te verifiëren. Daar zitten we dan weer, net als Plato en zijn leerlingen, met z’n allen op een gebogen bank onder een boom, en het enige wat we nog kunnen breken is het hoofd. Als er tenminste nog genoeg bomen over zijn om al die banken onder te zetten, want er bestaat tussen de wiskunde en de wereld in ieder geval nog een andere, heel wat minder verheven relatie, die in het voorgaande slechts terloops aan de orde is gekomen.

We hebben immers al gezegd dat, nog tweehonderd jaar vóór Plato, de eigenlijke grondlegger van de Griekse wiskunde Thales van Milete een koopman was die zijn kennis vergaarde tijdens zijn handelsreizen, van welke voorgeschiedenis de wiskunde zich nooit helemaal heeft kunnen bevrijden. Salomon Bochner merkte daarover op dat het vreemd en zelfs pijnlijk kan zijn te beseffen dat de hedendaagse wiskunde, waarmee de kleinste deeltjes en de grootste kosmische gebeurtenissen beschreven kunnen worden, zijn oorsprong vindt in de rekenkamers van de Lombardijse en Levantijnse geldwisselaars,^[99] en daarna gedurende de hele geschiedenis, met de bijdragen van Galilei, Monge en vele, vele latere wiskundigen, een keur van militaire doeleinden heeft gediend. Robert Musil stelde dit probleem van geld en macht met het voor hem zo karakteristieke mengsel van ernst en spot aan de orde toen hij de ziel definieerde als ‘datgene wat wegkruipt zo gauw er sprake is van algebraïsche reeksen’, en de wiskunde aanwees als de moeder van de natuurkunde, de grootmoeder van de techniek en daarmee de aartsmoeder van die geest waaruit ten slotte gifgassen en gevechtsvliegtuigen zijn opgestegen:

Er hoeft werkelijk niet veel over te worden gezegd, de mees­te mensen van tegenwoordig is het zonder meer duidelijk dat de wiskunde als een demon in alle aspecten van ons leven is gevaren. Misschien geloven niet al die mensen in het verhaal van de duivel aan wie je je ziel kunt verkopen; maar allen die een beetje verstand behoren te hebben van de ziel, omdat ze daar als geestelijke, historicus of kunstenaar ruime inkomsten uit betrekken, geven toe dat ze door de wiskunde zijn geruïneerd en dat de wiskunde de bron vormt van een kwaadaardig intellect, dat de mens weliswaar tot heer en meester der aarde maakt maar ook tot slaaf van de machine. De innerlijke dorheid, de monsterlijke vermenging van nauwkeurigheid wat de details betreft en onverschilligheid tegenover het geheel, het verschrikkelijke in de steek gelaten zijn van de mens in een woestijn van details, zijn onrust, woede, zijn weergaloze onverschilligheid van hart, zijn zucht naar geld, de kilheid en gewelddadigheid die zo kenmerkend zijn voor onze tijd, moeten volgens deze berichten uitsluitend het gevolg zijn van de verliezen die een logische en scherpe denkwijze de ziel toebrengt!^[100]

De wiskunde is dus niet alleen maar ‘misschien wel het hoogste inzicht dat de menselijke geest gegund is’, of ‘de opperste en minst-genaakbare poëzie’, en wordt het tijd de verliezen die zij de ziel zou hebben toegebracht ten minste te compenseren. Niet door de wiskunde te verbannen, zoals de middeleeuwers hebben gedaan in de verwachting daarmee hun ziel te redden, maar door toe te geven dat we er twee soorten legitieme kennis over de wereld bestaan, een logisch-wetenschappelijke over de buitenwereld en een gevoelsmatig-artistieke over de binnenwereld, die beide niet gebaat zijn bij de onderlinge oneigenlijke competentiestrijd die ze al sinds mensenheugenis gedwongen zijn te voeren. Plato is daar al mee begonnen door de poëzie tot mindere kenwijze te verklaren dan het verstand, en de paus is tweeënhalf millennium later nog bezig de zuiverheid van de ziel te verdedigen tegen de zijns inziens verderfelijke invloed van wetenschappelijke principes als heliocentrisme, evolutie en gezinsplanning, volgens Musil allemaal op te vatten als nazaten van de wiskunde.

1. Uit: J.D. Bernal, Sociale geschiedenis van de wetenschap 1, (vert. E. Marije, F. Oomes, H. Oosthoek) SUN 1976, blz. 75. ↑

2. John Barrow, The Artful Universe, Clarendon Press 1995, blz. 6. ↑

3. R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Holkema 1976, blz. 19. ↑

4. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 20. ↑

5. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 54. ↑

6. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 54. ↑

7. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 66. ↑

8. Lucretius, uit: Timothy Ferris, Ruimte en tijd; verkenningen rond de Melkweg, (vert. George Beekman, Aaldert v. d. Bo­gaard, Govert Schilling), De Haan 1990, blz. 191. ↑

9. Floris Cohen, De herschepping van de wereld. Het ontstaan van de moderne natuurwetenschap verklaard. Bert Bakker 2007, blz. 26. ↑

10. http://www.wikipedia.org/wiki/Beda ↑

11. Francis Crick, The Astonishing Hypothesis. The Scientific Search for the Soul, Simon & Schuster 1994, blz. 166-167. ↑

12. Francis Crick, The Astonishing Hypothesis. The Scientific Search for the Soul, Simon & Schuster 1994, blz. 166. ↑

13. David Darling, Zwaartekracht. Van Aristotels tot Einstein en verder, (vert. Eddy Echternach), Veen 2006, blz. 17. ↑

14. Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press 1965, blz. 148. ↑

15. Guy Debrock, ‘Substantie, tijd en tijdvergetelheid’, uit: H.J. Beersma e.a., Aspecten van tijd, 1991. ↑

16. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 111-112. ↑

17. Aurelius Augustinus, Belijdenissen, (vert. Gerard Wijdeveld), Ambo 1988, blz. 271-273. ↑

18. Meester Eckhart, uit: Rüdiger Safranski, Heidegger en zijn tijd, (vert. Mark Wildschut), Atlas 1995, blz. 89. ↑

19. David Darling, Zwaartekracht. Van Aristoteles tot Einstein en verder, (vert. Eddy Echternach), Veen 2006, blz. 73. ↑

20. Thomas Huxley, uit: David Darling, Zwaartekracht. Van Aristoteles tot Einstein en verder, (vert. Eddy Echternach), Veen 2006, blz. 113. ↑

21. Guy Debrock, ‘Substantie, tijd en tijdvergetelheid’, uit: H.J. Beersma e.a., Aspecten van tijd, 1991. ↑

22. Guy Debrock, ‘Substantie, tijd en tijdvergetelheid’, uit: H.J. Beersma e.a., Aspecten van tijd, 1991. ↑

23. Carlo Rovelli, Het mysterie van de tijd, (vert. Yond Boeke en Patty Krone), Prometheus 2018, blz. 53. ↑

24. J.A. Dèr Mouw, Volledig dichtwerk, Van Oorschot 1986, blz. 102. ↑

25. Guy Debrock, ‘Substantie, tijd en tijdvergetelheid’, uit: H.J. Beersma e.a., Aspecten van tijd, 1991. ↑

26. R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Hol­kema 1976, blz. 51. ↑

27. Nicolaus Copernicus, uit: Peter Watson, Ideeën. De geschiedenis van het menselijk denken, (vert. Rob de Ridder, Joost Zwart, Pieter Janssens, Hans van Cuijlenborg, Gerard Grasman, Amy Bais), Spectrum 2005, blz. 568-569. ↑

28. Frits Staal, Concepts of Science in Europe and Asia, IIAS, Leiden 1993, blz. 25. ↑

29. Peter Watson, Ideeën. De geschiedenis van het menselijk denken, (vert. Rob de Ridder, Joost Zwart, Pieter Janssens, Hans van Cuijlenborg, Gerard Grasman, Amy Bais), Spectrum 2005, blz. 701. ↑

30. David Darling, Zwaartekracht. Van Aristoteles tot Einstein en verder, (vert. Eddy Echternach), Veen 2006, blz. 17-18. ↑

31. Peter Kroes, ‘Het probleem van de richting van de tijd’, uit: Grondslagen en filosofie van de natuurkunde, Studium Generale Universiteit Utrecht 1985. ↑

32. Martijn van Calmthout, Einsteins licht; een leven met relativiteit, Contact 2005, blz. 47. ↑

33. Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Orde uit chaos, Bert Bakker 1985, blz. 116. ↑

34. Henri Bergson, uit: A. Cornelius Benjamin, ‘Ideas of Time in the History of Philosophy’, in: J.T. Fraser (ed.), The Voices of Time, London 1966, blz. 24. ↑

35. Carlo Rovelli, Het mysterie van de tijd, (vert. Yond Boeke en Patty Krone), Prometheus 2018, blz. 36. ↑

36. Douwe Draaisma, ‘William James’, in: Hans Achterhuis e.a. (red.), De denkers; een intellectuele biografie van de twintigste eeuw, Contact 1999, blz. 12-13. ↑

37. Samuel Alexander, uit: A. Cornelius Benjamin, ‘Ideas of Time in the History of Philosophy’, in: J.T. Fraser (ed.), The Voices of Time, London 1966, blz. 26. ↑

38. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 68. ↑

39. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 65. ↑

40. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 26 e.v. ↑

41. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 342 e.v. ↑

42. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulen­hoff 1975, blz. 525 e.v. ↑

43. Isaac Newton, uit: Bert Mesland, De Verlichting der Romantiek; de psychofysiologische idee in West-Europa, Erasmus Publishing 2000, blz. 59. ↑

44. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 525 e.v. ↑

45. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 176. ↑

46. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 545. ↑

47. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 180. ↑

48. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 183. ↑

49. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 310. ↑

50. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 510. ↑

51. John Horgan, The End of Science; Facing the Limits of Knowledge in the Twilight of the Scientific Age, Helix Books 1996, blz. 60. ↑

52. René Descartes, uit: R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Holkema 1976, blz. 149. ↑

53. Friedrich Nietzsche, uit: Alexander Nehamas, Nietzsche: Life as Literature, Harvard University Press 1985, blz. 144. ↑

54. Friedrich Nietzsche, uit: Alexander Nehamas, Nietzsche: Life as Literature, Harvard University Press 1985, blz. 127. ↑

55. Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press 1965, blz. 29. ↑

56. Ray Monk, Wittgenstein, het heilige moeten; een biografie, (vert. Ronald Jonkers), Prometheus 1993, blz. 133. ↑

57. Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press 1965, blz. 244-245. ↑

58. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 543 e.v. ↑

59. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 130. ↑

60. Richard Mankiewicz, Het verhaal van de wiskunde, Uniepers/Natuur&Techniek 2000, blz. 10. ↑

61. Peter Watson, Ideeën. De geschiedenis van het menselijk denken, (vert. Rob de Ridder, Joost Zwart, Pieter Janssens, Hans van Cuijlenborg, Gerard Grasman, Amy Bais), Spectrum 2005, blz. 110. ↑

62. D.J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, SUA 1980, blz. 41. ↑

63. Ted Gioia, Music. A Subversive History, Basic Books 2019, blz. 11. ↑

64. Anthony Gottlieb, De droom der rede; een geschiedenis van de filosofie van de Grieken tot de Renaissance, (vert. Ruud van de Plassche), Ambo 2004, blz. 46. ↑

65. R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Holkema 1976, blz. 125. ↑

66. Aristoteles, Physica II, 2. 193b23 ff., met dank aan Keimpe Algra. ↑

67. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 115 e.v. ↑

68. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 444 e.v. ↑

69. Allen G. Debus, Man and Nature in the Renaissance, Cambridge University Press 1986, blz. 109. ↑

70. E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld, Meulenhoff 1975, blz. 527. ↑

71. Karl R. Popper, De groei van kennis, (vert. Zeno Swijtink), Boom 1978, blz. 111. ↑

72. Thomas L. Hankins, Science and the Enlightenment, Cambridge University Press 1985, blz. 47. ↑

73. Ilya Prigogine, Isabelle Stengers, Orde uit chaos, Bert Bakker 1985, blz. 116. ↑

74. R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Holkema 1976, blz. 268. ↑

75. George Sarton, A History of Science; Ancient Science through the Golden Age of Greece, Harvard University Press 1960, blz. 283. ↑

76. Simon Singh, Het laatste raadsel van Fermat; het verhaal van een stelling die de grootste geesten der aarde 358 jaar lang tot wanhoop dreef, (vert. Mea Flothuis), De Arbeiderspers 1998, blz. 62. ↑

77. Met dank aan Claire Weeda. ↑

78. Thomas L. Hankins, Science and the Enlightenment, Cambridge University Press 1985, blz. 17. ↑

79. Dirk Struik, Geschiedenis van de wiskunde, ASU 1980, blz. 176. ↑

80. Simon Singh, Het laatste raadsel van Fermat; het verhaal van een stelling die de grootste geesten der aarde 358 jaar lang tot wanhoop dreef, (vert. Mea Flothuis), De Arbeiderspers 1998, blz. 170-171. ↑

81. Simon Singh, Het laatste raadsel van Fermat; het verhaal van een stelling die de grootste geesten der aarde 358 jaar lang tot wanhoop dreef, (vert. Mea Flothuis), De Arbeiderspers 1998, blz. 179. ↑

82. Isaac Newton, Principia, uit: Richard Mankiewicz, Het verhaal van de wiskunde, Uniepers/Natuur & Techniek 2000, blz. 110. ↑

83. Georg Cantor, uit: Richard Mankiewicz, Het verhaal van de wiskunde, Uniepers/Natuur & Techniek 2000, blz. 151. ↑

84. Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press 1965, blz. 246-247. ↑

85. Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, (vert. W.F. Hermans), Athenaeum-Polak & Van Gennep 1982, blz. 13. ↑

86. F. David Peat, Superstrings and the Search for the Theory of Everything, Cardinal 1991. ↑

87. Bent Sørensen, Supersnaren, een theorie over alles en niets, (vert. Gerard Rasch), Contact 1989, blz. 7 en 129. ↑

88. Bent Sørensen, Supersnaren, een theorie over alles en niets, (vert. Gerard Rasch), Contact 1989, blz. 144-145. ↑

89. Bernard d’Espagnat, On Physics and Philosophy, Princeton University Press 2006, blz. 144. ↑

90. F. David Peat, Superstrings and the Search for the Theory of Everything, Cardinal 1991, blz. 276. ↑

91. Edward Witten, uit: John Horgan, The End of Science; Facing the Limits of Knowledge in the Twilight of the Scientific Age, Helix Books 1996, blz. 69. ↑

92. De mond vol tanden; dertig vraaggesprekken over wat de wetenschap niet weet, Prometheus 1992, blz. 70. ↑

93. Roger Penrose, De nieuwe geest van de keizer, (vert. Jos den Bekker), Prometheus 1990, blz. 92. ↑

94. Hans Faverey, Verzamelde gedichten, De Bezige Bij 1993, blz. 222 en 344. ↑

95. Jean Paul van Bendegem, ‘Schoonheid in de wiskunde: Birkhoff revisited’, Tijdschrift voor filosofie, 1998 nr. 1. ↑

96. Bent Sørensen, Supersnaren, een theorie over alles en niets, (vert. Gerard Rasch), Contact 1989, blz. 7. ↑

97. R. Hooykaas, Geschiedenis der natuurwetenschappen, Bohn, Scheltema en Holkema 1976, blz. 28. ↑

98. Bent Sørensen, Supersnaren, een theorie over alles en niets, (vert. Gerard Rasch), Contact 1989, blz. 7. ↑

99. Salomon Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press 1965. ↑

100. Robert Musil, De man zonder eigenschappen, (vert. Ingeborg Lesener), Meulenhoff 1989, blz. 52-53. ↑